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| Aufgabe | Für die periodischen Ausgleichsvorgänge
f(t) = Ae^-t
mit [mm] t\in [0;2\pi] [/mm] T = [mm] 2\pi [/mm] soll die Fourierreihe entwickelt werden. |
Hallo Mathe-Community, ich habe ein Problem mit den FR, ich hoffe jemand kann mir dabei helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a0 hab ich schon berechnet.
a0 = [mm] 1/\pi \integral_{0}^{2\pi}{Ae^(-t)\, dt}
[/mm]
a0 = [mm] A/\pi \integral_{0}^{2\pi}{e^(-t) dt}
[/mm]
a0 = [mm] -A/\pi (e^-2\pi [/mm] - 1)
dann hab ich ak berechnet:
ak = [mm] 1/\pi \integral_{0}^{2\pi}{Ae^(-t) * cos(nt) dt}
[/mm]
ak = [mm] A/\pi \integral_{0}^{2\pi}{e^(-t) * cos(nt) dt}
[/mm]
partielle Integration:
v = e^(-t) v' = -e^(-t)
u' = cos(nt) u = sin(nt)/n
ak = [mm] A/\pi [/mm] [sin(nt)/n * e^(-t) + [mm] \integral_{0}^{2\pi}{e^(-t) * sin(nt)/n dt}]
[/mm]
erneute partielle Integration:
v = e^(-t) v' = -e^(-t)
u' = sin(nt)/n u = [mm] -cos(nt)/n^2
[/mm]
ak = [mm] A/\pi [/mm] [sin(nt)/n * e^(-t) [mm] -cos(nt)/n^2 [/mm] * e^(-t) - [mm] \integral_{0}^{2\pi}{e^(-t) * cos(nt)/n^2 dt}]
[/mm]
nun steht links und rechts dasselbe. Daher habe ich das Integral addiert (ist überhaupt richtig so?)
ak = [mm] A/\pi [/mm] [sin(nt)n * e^(-t) - [mm] cos(nt)/n^2 [/mm] * e^(-t)] in den Grenzen von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
Hier komm ich nicht mehr weiter, da mich die n's irritieren. Kann ich für sin und cos 0 und [mm] 2\pi [/mm] einfach einsetzten und die n's ignorieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mike_Rosoft,
Deine Rechnung geht schon in die richtige Richtung, aber wie Du selbst gemerkt hast, kommst Du mit den Indizes n und k durcheinander und das Ganze ist durch das Schriftbild nur sehr schwer zu verfolgen.
Zunächst mal kann man sagen, dass die zu entwickelnde Funktion weder gerade noch ungerade ist und insofern Kosinus- und Sinusterme beinhalten muss.
Für die Kosinuskoeffizienten muss man folgendes Integral lösen:
$$ [mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{A}{\pi} \int_0^{2 \pi} \rm{e}^{-t} \cos(kt) [/mm] dt $$ und entsprechend ergibt sich für die Sinuskoeffizienten
$$ [mm] b_k [/mm] = [mm] \bruch{A}{\pi} \int_0^{2 \pi} \rm{e}^{-t} \sin(kt) [/mm] dt [mm] \, [/mm] . $$
Das erste Integral ergibt sich zu
$$ [mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{A}{\pi} \left[ \bruch{\rm{e}^{-t}}{1+k^2} (-\cos (kt) + k \sin (kt) ) \right]^{2 \pi}_0 [/mm] $$
und das zweite Integral liefert ein sehr ähnliches Ergebnis, nämlich
$$ [mm] b_k [/mm] = [mm] \bruch{A}{\pi} \left[ \bruch{\rm{e}^{-t}}{1+k^2} (-\sin (kt) - k \cos (kt) ) \right]^{2 \pi}_0 \, [/mm] .$$
Jetzt musst Du nur noch die Grenzen einsetzen, und überlegen, welche Werte der Sinus bzw. Cosinus bei 0 bzw. [mm] 2 \pi [/mm] annehmen kann.
Es bleibt nicht mehr allzu viel übrig von diesen Ausdrücken.
Viel Spass dabei wünscht
Infinit
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Ich habe keine Ahnung, wie ich von
[mm] a_k= [/mm] ( [mm] \bruch{A}{\pi} [/mm] )[( [mm] \bruch{sin(nt)*{e}^{-t}}{n} [/mm] ) - ( [mm] \bruch{cos(nt)*{e}^{-t}}{n^2} [/mm] ) + [mm] \integral_{0}^{2\pi}{( \bruch{cos(nt)*{e}^{-t}}{n^2} ) dt}
[/mm]
auf
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{A}{\pi} \left[ \bruch{\rm{e}^{-t}}{1+k^2} (-\cos (kt) + k \sin (kt) ) \right]^{2 \pi}_0
[/mm]
Ich komme da nur auf
[mm] a_k= [/mm] ( [mm] \bruch{A}{\pi} [/mm] )[( [mm] \bruch{sin(nt)*{e}^{-t}}{n} [/mm] ) - ( [mm] \bruch{cos(nt)*{e}^{-t}}{n^2} [/mm] )
Es fehlt mir das [mm] 1+n^2 [/mm] beim Cosinus und das n*sin(nt)...
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Der Sinus wird bei [mm] 2\pi [/mm] und 0 immer null.
Der Cosinus, bei geraden n für [mm] 2\pi [/mm] = 1 und für 0 ebenfalls 1
[mm] a_k= [/mm] ( [mm] \bruch{A}{\pi} [/mm] )[( [mm] \bruch{-cos(n*2\pi)*{e}^{-2\pi}}{1+n^2} [/mm] ) + ( [mm] \bruch{cos(n*0)*{e}^{-0}}{1+n^2} [/mm] )
[mm] a_k= [/mm] ( [mm] \bruch{A}{\pi} [/mm] )[( [mm] \bruch{-{e}^{-2\pi}}{1+n^2} [/mm] ) + ( [mm] \bruch{1}{1+n^2} [/mm] )
[mm] a_k= [/mm] ( [mm] \bruch{A}{\pi} [/mm] )[( [mm] \bruch{-{e}^{-2\pi} +1}{1+n^2} [/mm] )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dein Durcheinander von n und k ist irritierend.
2. du erhältst beim 2 mal part. integrieren nicht dasselbe Integral, sondern [mm] 1/k^2*Ursprungsintegral, [/mm] nach links gebracht also [mm] (1+1/k^2)*\integral_{0}^{2\pi}{....dt} [/mm] dadurch musst du rechts div. und dann noch [mm] 1/k^2 [/mm] ausklammern.
der [mm] cos(2\pi*k) [/mm] ist für ALLE k nicht nur gerade 1!
Gruss leduart
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So jetzt habe ich hoffentlich die endgültige FR:
f(x) = [mm] \bruch{A}{2\pi} [/mm] - [mm] \summe_{K=1}^{\infty}(\bruch{{e}^{-2\pi}+1}{1+k^2}) [/mm] *cos(kt) - [mm] ({e}^{-2\pi}+1) [/mm] *sin(kt)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Infinit |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
der Weg ist zwar richtig, aber da sind einige Vorzeichenfehler drin und ein Teil des Nenners bei der Sinusfunktion ist verschwunden. Ich weiss, man verhaut sich da sehr leicht, aber wie wäre es mit folgenden Koeffizienten:
$$ a_k = \bruch{A}{\pi} \left[ \bruch{-\rm{e}^{-2 \pi}}{1+k^2} + {\bruch{1}{1+k^2} \right] $$ und
$$ b_k = \bruch{A}{\pi} \left[ \bruch{-k\rm{e}^{-2 \pi}}{1+k^2} + {\bruch{k}{1+k^2} \right] \, .$$
Ich hoffe, das stimmt.
Viele Grüße,
Infinit
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Ja beim rechen hab ich es auch gemerkt. Ist ein bisschen blöd wenn einfach die Klammern übersieht.
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{A}{\pi} [/mm] * [mm] (\bruch{-e^{-t}}{1+k^2} [/mm] + [mm] \bruch{-1}{1+k^2} [/mm] )
hab ich auch. Ich habe das dann zusammengefasst, weil beide Terme ja den selben Hauptnenner haben.
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{A}{\pi} [/mm] * [mm] (\bruch{-e^{-t}-1}{1+k^2})
[/mm]
Bei [mm] b_k [/mm] hab ich die Klammer übersehen, jetzt hab ichs auch.
[mm] b_k [/mm] = [mm] \bruch{A}{\pi} [/mm] * [mm] (\bruch{-k*{e}^{-2\pi}+k}{1+k^2}) [/mm] siehe [mm] a_k
[/mm]
Die Vorzeichenfehler hatte ich bereits beim abschreiben entdeckt, für eine Korrektur war es aber schon zu spät.
f(x) = [mm] \bruch{A}{2\pi}+\summe_{k=1}^{\infinty} (\bruch{-e^{-t}-1}{1+k^2})*cos(kt) [/mm] + [mm] (\bruch{-k*{e}^{-2\pi}+k}{1+k^2}) [/mm] *sin(kt)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein bissel zu leichtsinnig:
> [mm]a_k[/mm] = [mm]\bruch{A}{\pi}[/mm] * [mm](\bruch{-e^{-t}}{1+k^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{-1}{1+k^2}[/mm] )
>
> hab ich auch. Ich habe das dann zusammengefasst, weil beide
> Terme ja den selben Hauptnenner haben.
>
> [mm]a_k[/mm] = [mm]\bruch{A}{\pi}[/mm] * [mm](\bruch{-e^{-t}-1}{1+k^2})[/mm]
>
> Bei [mm]b_k[/mm] bin ich jetzt ein bisschen verwirrt.
>
> Da steht doch dann:
>
> [mm]b_k[/mm] = [mm]\bruch{A}{\pi} \left[ \bruch{\rm{e}^{-t}}{1+k^2} (-\sin (kt) - k \cos (kt) ) \right]^{2 \pi}_0 \,[/mm]
das scheint noch richtig!
> Der Sinus wird doch wieder null und der Cosinus eins oder
> bin ich da falsch?
>
> [mm]b_k[/mm] = [mm]\bruch{A}{\pi}[/mm] *( -k*cos(kt) * [mm]{e}^{-t})[/mm]
>
Wo ist der Faktor [mm] \bruch{1}{1+k^2} [/mm] geblieben?
> [mm]b_k[/mm] = [mm]\bruch{A}{\pi}[/mm] *( [mm]-k*cos(2\pi)[/mm] - (-k*cos(0))
>
> [mm]b_k[/mm] = [mm]\bruch{A}{\pi} *(-{e}^{-t}[/mm] + 1)
Und woher kommt das t? du musst doch die Grenzen in cos, sin und e^ einsetzen!
es lohnt sich sowas wirklich an der oberen und unteren Grenze hinzuschreiben, dann darf da kein t mehr sein.
Hinweis: wenn die Koeffizienten für große k nicht klein werden ist immer was faul! Du musst dir die Summe doch vorstellen, wenn da der sin beliebig hoher Frequenzen mit der gleichen Amplitude vorkommt wie der bei der Grundfrequenz muss doch was falsch sein!
Gruss leduart
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Ja ich habe das alles gemerkt, als ich die neue Frage geschrieben habe. Habe jetzt alles soweit berichtigt, währendessen die Antwort geschrieben wurde. So das müsste es jetzt sein, wenn sich kein Vorzeichenfehler oder so mehr eingeschlichen hat.
f(x) = $ [mm] \bruch{A}{2\pi}+\summe_{k=1}^{\infinty} (\bruch{-e^{-2\pi}+1}{1+k^2})\cdot{}cos(kt) [/mm] $ + $ [mm] (\bruch{-k\cdot{}{e}^{-2\pi}+k}{1+k^2}) [/mm] $ *sin(kt)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hat dir infinit doch schon geschrieben! also lieber ein nettes Dankeschön als wieder ne Frage.
Gruss leduart
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Toll super. Ohne euch hätt ich noch Stunden gesessen ohne wirklich vorwärts zu kommen. Danke für eure Zeit und Geduld.
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