Koeffizienten der Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:54 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Balendilin |
Folgende Potenzreihen (in z) sind mir gegeben:
1) [mm] \sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}
[/mm]
2) [mm] \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2+(-1)^k}z^{k+1}
[/mm]
3) [mm] \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-2)!}z^k
[/mm]
Ich soll nun die Koeffizienten [mm] a_k [/mm] für alle [mm] k\in\IN [/mm] angeben.
Bei der 3 ist das ganz leicht; das ist ja eine ganz normale Potenzreihe.
Bei der 2 sind die Koeffizienten [mm] a_k=\frac{1}{2+(-1)^k}, [/mm] allerdings fehlt ja der Summand mit [mm] z^0. [/mm] Also muss irgendein Koeffizient 0 sein, aber welcher ist das?
Und bei 1 fehlen die Hälfte der Summanden (ungerade Exponenten kommt ja in der Reihe gar nicht vor). Also müssten ein paar der Koeffizienten wieder Null sein. Aber wie gebe ich das jetzt an?
Eine Möglichkeit, die ich sehe, wäre, die Laufindizes zu transformieren, sodass meine Exponenten jede natürliche Zahl durchlaufen und dann sage ich z.B. bei 1:
[mm] \sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n [/mm] mit [mm] a_n=2n [/mm] für n gerade und [mm] a_n=0 [/mm] für n ungerade
Aber das erscheint mir irgendwie mit Kanonen auf Spatzen geschossen.
Gibt es auch irgendeine einfachere Methode?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Sa 05.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
ich bin etwas verwundert.
> Folgende Potenzreihen (in z) sind mir gegeben:
>
> 1) [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}[/mm]
> 2)
> [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2+(-1)^k}z^{k+1}[/mm]
> 3)
> [mm]\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-2)!}z^k[/mm]
>
> Ich soll nun die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
> angeben.
eigenartige Aufgabe...
Darf man z. B. auch folgendes machen:
zu 1) [mm] y=z^2
[/mm]
Dann [mm] \sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}=\sum\limits_{k=0}^\infty ky^{k}
[/mm]
Und dann für letzteres die zugehörige Folge [mm] a_k=k [/mm] angeben?
>
>
> Bei der 3 ist das ganz leicht; das ist ja eine ganz normale
> Potenzreihe.
wäre dann zzgl. [mm] a_0=a_1=0
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Sa 05.03.2011 | | Autor: | Balendilin |
> Hallo,
> ich bin etwas verwundert.
> > Folgende Potenzreihen (in z) sind mir gegeben:
> >
> > 1) [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}[/mm]
> > 2)
> > [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2+(-1)^k}z^{k+1}[/mm]
> > 3)
> > [mm]\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-2)!}z^k[/mm]
> >
> > Ich soll nun die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
> > angeben.
> eigenartige Aufgabe...
>
> Darf man z. B. auch folgendes machen:
> zu 1) [mm]y=z^2[/mm]
> Dann [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}=\sum\limits_{k=0}^\infty ky^{k}[/mm]
>
> Und dann für letzteres die zugehörige Folge [mm]a_k=k[/mm]
> angeben?
Ich weiß nicht, ob man das darf. Irgendwie wäre das das Naheliegendste, aber vielleicht ist das auch ein bisschen zu einfach...
> >
> >
> > Bei der 3 ist das ganz leicht; das ist ja eine ganz normale
> > Potenzreihe.
> wäre dann zzgl. [mm]a_0=a_1=0[/mm]
stimmt, ja, das müsste man dann auch noch dazu angeben. Die restlichen für [mm] n\geq2 [/mm] wären dann aber [mm] a_n=\frac{1}{(k-2)!}
[/mm]
>
> LG
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Hallo Balendilin,
> > Hallo,
> > ich bin etwas verwundert.
> > > Folgende Potenzreihen (in z) sind mir gegeben:
> > >
> > > 1) [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}[/mm]
> > > Ich soll nun die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
> > > angeben.
> > eigenartige Aufgabe...
> >
> > Darf man z. B. auch folgendes machen:
> > zu 1) [mm]y=z^2[/mm]
> > Dann [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}=\sum\limits_{k=0}^\infty ky^{k}[/mm]
>
> >
> > Und dann für letzteres die zugehörige Folge [mm]a_k=k[/mm]
> > angeben?
>
> Ich weiß nicht, ob man das darf. Irgendwie wäre das das
> Naheliegendste, aber vielleicht ist das auch ein bisschen
> zu einfach...
>
Das ist in der Tat zu einfach.
Bestimme die Koeffizienten vor den geraden und ungeraden Exponenten.
> >
> > LG
>
Gruss
MathePower
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> Hallo Balendilin,
>
> > > Hallo,
> > > ich bin etwas verwundert.
> > > > Folgende Potenzreihen (in z) sind mir gegeben:
> > > >
> > > > 1) [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}[/mm]
>
>
> > > > Ich soll nun die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
> > > > angeben.
> > > eigenartige Aufgabe...
> > >
> > > Darf man z. B. auch folgendes machen:
> > > zu 1) [mm]y=z^2[/mm]
> > > Dann [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}=\sum\limits_{k=0}^\infty ky^{k}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und dann für letzteres die zugehörige Folge [mm]a_k=k[/mm]
> > > angeben?
> >
> > Ich weiß nicht, ob man das darf. Irgendwie wäre das das
> > Naheliegendste, aber vielleicht ist das auch ein bisschen
> > zu einfach...
> >
>
>
> Das ist in der Tat zu einfach.
>
> Bestimme die Koeffizienten vor den geraden und ungeraden
> Exponenten.
>
>
Das habe ich ja oben gemacht:
"Eine Möglichkeit, die ich sehe, wäre, die Laufindizes zu transformieren, sodass meine Exponenten jede natürliche Zahl durchlaufen und dann sage ich z.B. bei 1:
[mm] \sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n [/mm] mit [mm] a_n=\frac{n}{2} [/mm] für n gerade und [mm] a_n=0 [/mm] für n ungerade (da hab ich mich oben verschrieben/vertan)"
Aber dann habe ich ja einen ganz anderen Laufindex. Und irgendwie habe ich meine Koeffizienten mit [mm] a_k=k [/mm] ja für alle [mm] k\in\IN [/mm] angegeben.
> > >
> > > LG
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 So 06.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Balendilin,
> >
> > > > Hallo,
> > > > ich bin etwas verwundert.
> > > > > Folgende Potenzreihen (in z) sind mir gegeben:
> > > > >
> > > > > 1) [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}[/mm]
> >
> >
> > > > > Ich soll nun die Koeffizienten [mm]a_k[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
> > > > > angeben.
> > > > eigenartige Aufgabe...
> > > >
> > > > Darf man z. B. auch folgendes machen:
> > > > zu 1) [mm]y=z^2[/mm]
> > > > Dann [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}=\sum\limits_{k=0}^\infty ky^{k}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Und dann für letzteres die zugehörige Folge [mm]a_k=k[/mm]
> > > > angeben?
> > >
> > > Ich weiß nicht, ob man das darf. Irgendwie wäre das das
> > > Naheliegendste, aber vielleicht ist das auch ein bisschen
> > > zu einfach...
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> >
> > Das ist in der Tat zu einfach.
> >
> > Bestimme die Koeffizienten vor den geraden und ungeraden
> > Exponenten.
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> >
> Das habe ich ja oben gemacht:
>
> "Eine Möglichkeit, die ich sehe, wäre, die Laufindizes zu
> transformieren, sodass meine Exponenten jede natürliche
> Zahl durchlaufen und dann sage ich z.B. bei 1:
> [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty kz^{2k}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n[/mm]
> mit [mm]a_n=\frac{n}{2}[/mm] für n gerade und [mm]a_n=0[/mm] für n ungerade
Genau !
FRED
> (da hab ich mich oben verschrieben/vertan)"
>
> Aber dann habe ich ja einen ganz anderen Laufindex. Und
> irgendwie habe ich meine Koeffizienten mit [mm]a_k=k[/mm] ja für
> alle [mm]k\in\IN[/mm] angegeben.
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> > > > LG
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> > Gruss
> > MathePower
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