Köper vs. Integr.bereich < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Was muss zu einem Integritätsbereich noch "dazukommen", sodass er ein Körper "wird" |
Ein Int.brereich ist ein kommutat. Ring mit dem Zusatz, dass ein Produkt nur 0 wird, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Im kommutat. Ring. ist eine abelsche Gruppe eingebettet => es gibt ein additives Inverses f jedes Element.
Wenn jetzt ein multplikatives Inverses dazukommt f jedes Element (ausser 0) - ist es dann ein Köper?
Oder MUSS das Neutralelement der Addition NULL sein und das Neutralelement der Multiplikation EINS?
(Was ja eine weitere Verschärfung wäre bzgl. Ringen, welche z B auch Restklassen beinhalten: In Restklassen können Neutralelemente anders aussehen. Verstehe ich das richtig? Mal den Fall [mm] \IZ/p\IZ [/mm] mit p:prim ausgeschlossen.)
Noch zu Bezeichungen:
Kann man sagen, [mm] \IZ [/mm] ist ein Int.bereich, oder muss man genau genommen sagen, [mm] (\IZ,+,*) [/mm] ist ein Int.bereich?
Eigentlich muss man doch immer angeben, für welche Verknüpfungen das gilt, oder?
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> Was muss zu einem Integritätsbereich noch "dazukommen",
> sodass er ein Körper "wird"
> Ein Int.brereich ist ein kommutat. Ring mit dem Zusatz,
> dass ein Produkt nur 0 wird, wenn einer der Faktoren 0
> ist.
Oder äquivalent dazu, es gilt die Kürzungsregel. (Warum ist das äquivalent?)
> Im kommutat. Ring. ist eine abelsche Gruppe eingebettet =>
> es gibt ein additives Inverses f jedes Element.
Die richtige Sprechweise ist: Ein Ring ist eine abelsche Gruppe mit Zusatzstruktur. (Präziser kann man sagen, dass ein Ring ein Monoidobjekt in der Kategorie der abelschen Gruppen ist.)
> Wenn jetzt ein multplikatives Inverses dazukommt f jedes
> Element (ausser 0) - ist es dann ein Köper?
Außerdem müssen Null und Eins verschieden sein. Ansonsten ja. Tatsächlich kann man aus jedem Integritätsbereich auf eine universelle Weise einen Körper machen - den ![[]](/images/popup.gif) Körper der Brüche. Zum Beispiel erhält man so aus den ganzen Zahlen die rationalen Zahlen.
Die Bildung des Körper der Brüche ist linksadjungiert zum Vergessen der Körpereigenschaften und hat daher viele schöne Eigenschaften. Ein allgemeineres Konzept ist das der Lokalisierung (das man in enorm vielen Situationen wiederfindet und nach wie vor Gegenstand aktiver Forschung ist).
> Oder MUSS das Neutralelement der Addition NULL sein und das
> Neutralelement der Multiplikation EINS?
Naja, das sind Namensgebungen. Man kann zeigen, dass es höchstens ein Element $ e $ gibt, welches stets $ ea=a $ und $ ae =a $ eferfüllt. Dieses nennt man "Eins".
> (Was ja eine weitere Verschärfung wäre bzgl. Ringen,
> welche z B auch Restklassen beinhalten: In Restklassen
> können Neutralelemente anders aussehen. Verstehe ich das
> richtig? Mal den Fall [mm]\IZ/p\IZ[/mm] mit p:prim ausgeschlossen.)
Mir ist nicht klar, was du meinst.
> Noch zu Bezeichungen:
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> Kann man sagen, [mm]\IZ[/mm] ist ein Int.bereich, oder muss man
> genau genommen sagen, [mm](\IZ,+,*)[/mm] ist ein Int.bereich?
> Eigentlich muss man doch immer angeben, für welche
> Verknüpfungen das gilt, oder?
Eigentlich ja. In der Praxis wird das jedoch nicht gemacht. Das ist manchmal gut, weil es die Notation vereinfacht, kann jedoch auch zu Problemen führen. Ein Artikel von Interesse: Hier. (Man muss die dahinterstehende Kategorientheorie nicht verstehen.)
Wenn dir etwas spezielles unlar ist, sind präzisere Fragen auch leichter zu beantworten.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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