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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Di 28.03.2006 | | Autor: | goldie20 |
Hallo zusammen,
ich hätte da mal eine allgemeine Frage.
[mm] \IZ_n [/mm] ist doch ein Körper wenn n eine Primzahl ist.
Gibt es auch solch eine "Formel" für [mm] \IZ_{n}[x] [/mm] oder einen andere Möglichkeit an der man es sofort sehen kann ob es sich um einen Körper handelt??
Eine weitere Frage, von mir wäre, wenn [mm] \IZ_n [/mm] ein Körper ist, dann folgt ja automatisch, dass es auch Integritätsbereich ist, aber wenn [mm] \IZ_n [/mm] kein Körper ist, folgt nicht automatisch, dass es sich um ein Integritätsbereich handelt. Welches Kriterium muß dann erfüllt bzw. nicht erfüllt sein damit es Integritatsbereich ist bzw. nicht ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Könnte mir da bitte jemand weiter helfen.
Gruß, goldie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Di 28.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Hallo zusammen,
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> ich hätte da mal eine allgemeine Frage.
>
> [mm]\IZ_n[/mm] ist doch ein Körper wenn n eine Primzahl ist.
genauer sogar: ... ein Körper genau dann wenn ...
> Gibt es auch solch eine "Formel" für [mm]\IZ_{n}[x][/mm] oder einen
> andere Möglichkeit an der man es sofort sehen kann ob es
> sich um einen Körper handelt??
Ein (voller) Polynomring ist nie ein Körper, weil das Monom x kein Inverses hat. Das liegt daran, daß die Potenzen von x linear unabhängig sind.
> Eine weitere Frage, von mir wäre, wenn [mm]\IZ_n[/mm] ein Körper
> ist, dann folgt ja automatisch, dass es auch
> Integritätsbereich ist, aber wenn [mm]\IZ_n[/mm] kein Körper ist,
> folgt nicht automatisch, dass es sich um ein
> Integritätsbereich handelt. Welches Kriterium muß dann
> erfüllt bzw. nicht erfüllt sein damit es Integritatsbereich
> ist bzw. nicht ist.
Das folgt oben aus dem 'genau dann wenn'. Wenn n keine Primzahl ist, sind die kanonischen Bilder in [mm] \IZ_{n} [/mm] der echten Faktoren von n von 0 verschieden, aber Nullteiler.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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