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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Di 17.04.2007 | | Autor: | aineias |
| Aufgabe | Es sei (K,+,*) eine endliche Menge K mit zwei Verknüpfungen + und *, die den Körperaxiomen genügen, aber statt inverses Element der Multiplikation folgendes Axiom erfüllen:
Für a,b [mm] \in [/mm] K [mm] \backslash [/mm] {0} gilt auch a*b [mm] \in [/mm] K [mm] \backslash [/mm] {0}.
Zeigen Sie, dass (K,+,*) ein Körper ist.
(man betrachte f: K [mm] \backslash [/mm] {0} ---> K [mm] \backslash [/mm] {0}, b ---> a*b |
hallo,
kann mir jemand hierbei bitte helfen...
ich verstehe nicht, wie ich diese aufgabe angehen soll. soll mir einfach eine endlich menge ausdenken und dann die körperaxiome durchgehen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Di 17.04.2007 | | Autor: | comix |
Hier gibt es zwei entscheidende Voraussetzungen:
1. Die Menge K ist endlich.
2. Das "neue" Axiom sagt aus, dass das Produkt zweier Elemente ungleich 0 wieder ungleich 0 ist .
Wenn Du jetzt zeigen kannst, dass die angegebene Abbildung bijektiv ist (hier reicht z.B. injektiv, surjektiv folgt dann wegen der Endlichkeit), dann kannst Du das "fehlende" Axiom (Existenz des Inversen) herleiten.
(für injektiv z.z.: [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2. [/mm] Bilde die Differenz und klammer aus)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Mi 18.04.2007 | | Autor: | aineias |
soll ich mir dann irgendwelche elemente, die in der endlichen menge enthalten sind ausdenken und damit die bijektivität beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mi 18.04.2007 | | Autor: | comix |
Du brauchst Dir keine Elemente auszudenken.
Ziel: Beweis des Axioms: Zu jedem x [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus [/mm] {0} gibt es ein x' mit: x*x'=1.
Vorgehensweise: Aus dem angegebenen Axiom folgt, dass es Abbildungen gibt (a [mm] \not= [/mm] 0):
[mm] f_a: [/mm] K [mm] \setminus [/mm] {0} [mm] \to [/mm] K [mm] \setminus [/mm] {0}, b [mm] \mapsto [/mm] a*b
1. Schritt: Zeige, dass [mm] f_a [/mm] bijektiv ist
2. Schritt: Dann folgt: Zu jedem x [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus [/mm] {0} gibt es ein bijektives [mm] f_x. [/mm] Da [mm] f_x [/mm] bijektiv ist, kommt auch 1 als Bild vor. Dasjenige b mit x*b=1 ist das inverse Element.
Zu Schritt 1: f(b) = f(b') [mm] \Rightarrow [/mm] f(b) - f(b') = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*b - a*b' = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a*(b-b') = 0.
Was wissen wir jetzt über dieses Produkt?
a [mm] \not= [/mm] 0
Was folgt für b-b' ?
...
Da [mm] f_a [/mm] injektiv ist, ist [mm] f_a [/mm] auch surjektiv (K ist endliche Menge).
Siehst Du den Weg jetzt klarer?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 18.04.2007 | | Autor: | aineias |
erstmla vielen dank comix!!
zu schritt 1: dann müsste doch aus (b-b´) folgern, dass es das inverse zu a ist, stimmts??? somit wäre auch die injektivität beweisen, dann könnte ich doch auch schon hier aufhören, denn somit hätte man das inverse zu a (mit b-b') bewiesen oder fehlt da noch was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Do 19.04.2007 | | Autor: | comix |
> erstmla vielen dank comix!!
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> zu schritt 1: dann müsste doch aus (b-b´) folgern, dass es
> das inverse zu a ist, stimmts??? somit wäre auch die
> injektivität beweisen, dann könnte ich doch auch schon hier
> aufhören, denn somit hätte man das inverse zu a (mit b-b')
> bewiesen oder fehlt da noch was?
Dein Satz scheint nicht vollständig zu sein. Du schreibst: "aus (b-b') folgern". Es folgt natürlich, dass b-b'=0. Das hat aber zunächst gar nichts damit zu tun, ob es ein Inverses zu b bzgl. der Multiplikation gibt. Da brauchst Du wohl schon noch ein weiteres Argument. Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 20.04.2007 | | Autor: | aineias |
ist das richtig, dass man aus (b-b') folgern kann, dass es das inverse von a bzgl. + ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 So 22.04.2007 | | Autor: | comix |
Fast richtig: -b' ist das Inverse zu b bez. +. Aber ich würde es so formulieren:
f(b) = f(b') $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f(b) - f(b') = 0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ a*b - a*b' = 0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ a*(b-b') = 0.
Jetzt kann man zunächst folgern, dass (b-b')=0, da a [mm] \not= [/mm] 0. Wäre (b-b') [mm] \not= [/mm] 0, dann auch a*(b-b') [mm] \not=0 [/mm] (wegen des "neuen" Axioms).
Aus b-b'=0 folgt dann natürlich b = b' und damit die Injektivität.
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