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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 20.11.2004 | | Autor: | mommermi |
Hallo!
Wir sollen als Übungsaufgabe einen Körper mit 4 Elementen finden. Einen solchen habe ich auch erstellt mit [mm] ({0,1,a,b}, +, *)[/mm].
Die Additions- und Multiplikationstabelle habe ich auch aufgestellt ... allerdings nicht ohne Zuhilfenahme eines Buches.
Jetzt meine Fragen:
Ist bei einem Körper die Addition und die Multiplikation stets kommutativ, oder ist das nur für die Addition zwingend?
Der Körper mit 4 Elementen hat ja die Charakteristik 2. Warum? Wie man die Charakteristik herausfindet ist mir klar, allerdings nicht, warum gerade 1 + 1 = 0 gelten muß. Theoretisch kann ich die Additionstabelle (außer für das neutrale Element) ja aufstellen wie ich möchte, aber warum ist 1 + 1 = 0 zwingend? Hat das mit dem zweielementigen Körper zu tun, der ja eine Teilmenge davon ist?
Wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte.
Gruß
Michael
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Hallo!
> Wir sollen als Übungsaufgabe einen Körper mit 4 Elementen
> finden. Einen solchen habe ich auch erstellt mit
> [mm]({0,1,a,b}, +, *)[/mm].
> Die Additions- und Multiplikationstabelle habe ich auch
> aufgestellt ... allerdings nicht ohne Zuhilfenahme eines
> Buches.
>
> Jetzt meine Fragen:
> Ist bei einem Körper die Addition und die Multiplikation
> stets kommutativ, oder ist das nur für die Addition
> zwingend?
Nein, sonst würde ja der Begriff des kommutativen Körpers keine Bedeutung mehr haben. Allerdings lese ich gerade in einer Formelsammlung, dass die Menge auch bzgl. der zweiten Verknüpfung (also der Multiplikation) allerdings ohne das neutrale Element der ersten Verknüpfung eine abelsche Gruppe sein muss, also in diesem Sinne doch kommutativ.
> Der Körper mit 4 Elementen hat ja die Charakteristik 2.
> Warum? Wie man die Charakteristik herausfindet ist mir
> klar, allerdings nicht, warum gerade 1 + 1 = 0 gelten muß.
> Theoretisch kann ich die Additionstabelle (außer für das
> neutrale Element) ja aufstellen wie ich möchte, aber warum
> ist 1 + 1 = 0 zwingend? Hat das mit dem zweielementigen
> Körper zu tun, der ja eine Teilmenge davon ist?
Ich glaube, es hat etwas damit zu tun, dass 1 und 0 gerade die neutralen Elemente sind. Aber darauf gebe ich mal lieber keine Garantie.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 So 21.11.2004 | | Autor: | mommermi |
Hi!
Vielen Dank für deine Antwort!
> > Ist bei einem Körper die Addition und die
> Multiplikation
> > stets kommutativ, oder ist das nur für die Addition
> > zwingend?
> Nein, sonst würde ja der Begriff des kommutativen Körpers
> keine Bedeutung mehr haben. Allerdings lese ich gerade in
> einer Formelsammlung, dass die Menge auch bzgl. der zweiten
> Verknüpfung (also der Multiplikation) allerdings ohne das
> neutrale Element der ersten Verknüpfung eine abelsche
> Gruppe sein muss, also in diesem Sinne doch kommutativ.
Was ist denn dann der Unterschied zwischen einem "normalen" Körper und einem kommutativen?
Noch eine Frage:
Wie kann ich zeigen, daß ein Körper Teilmenge eines anderen ist, also beispielsweise [mm] \IF_{2} \subseteq \IF_{4} [/mm] (wobei [mm] \IF_{2} [/mm] abgeschlossen ist)?
Ich kann ja direkt sagen, daß die Menge die [mm] \IF_{2} [/mm] bildet eine Teilmenge derer ist, die [mm] \IF_{4} [/mm] bildet. Und nun? Muß ich noch nachweisen, daß [mm] \IF_{2} [/mm] ein Körper ist?
Gruß und Danke
Michael
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Hallo!
> Was ist denn dann der Unterschied zwischen einem
> "normalen" Körper und einem kommutativen?
Also, meines Wissens ist der Unterschied, dass bei einem kommutativen Körper auch die Multiplikation kommutativ ist. Aber das müsste eigentlich in jedem LA-Buch zu finden sein.
> Noch eine Frage:
> Wie kann ich zeigen, daß ein Körper Teilmenge eines
> anderen ist, also beispielsweise [mm]\IF_{2} \subseteq \IF_{4}[/mm]
> (wobei [mm]\IF_{2}[/mm] abgeschlossen ist)?
> Ich kann ja direkt sagen, daß die Menge die [mm]\IF_{2}[/mm]
> bildet eine Teilmenge derer ist, die [mm]\IF_{4}[/mm] bildet. Und
> nun? Muß ich noch nachweisen, daß [mm]\IF_{2}[/mm] ein Körper
> ist?
Also, ich habe das immer so gemacht, aber ich glaube das ist nicht nötig. Wenn ich mich recht erinnere, muss man nur zeigen, dass die Menge nicht leer ist und dass sie abgeschlossen ist oder so was ähnliches. Aber das müsste eigentlich auch in jedem Buch zu finden sein, wahrscheinlich als Satz mit Beweis.
Sorry, so ganz sicher bin ich mir da nicht.
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 So 21.11.2004 | | Autor: | Stella |
Hi,
sorry, die Antwort war zwar nicht Falsch, aber ich wollte dir noch einen Tip geben, warum 1+1=0 sein muss, doch ich irgendwie könnte ich dir nur eine Antwort schreiben, wenn ich die vorherige Antwort als Fehlerhaft gekenzeichnet habe.
Also, aber jetzt zur Aufgabe:
Ich zeige es dir mal für die Addition, dann müsstest du die Multiplikation selbst hinbekommen...
Die Addidtion ist ja kommutativ, damit gilt ja 1+a=a+1. Somit folgt 1+1=0 denn wenn gelten würde 1+1=1 oder 1+1=a oder 1+1=b dann wäre der Körper nicht mehr 4-Elementig sondern nur drei.
Daher folgt: a+a=a(1+1)=a*0=0
und (a+1) + (a+a)=(a+1)(1+1)=(a+1)*0=0
Als weiteren Tip: schau mal in den Fischer, dort wird dieses Thema mit Additionstabellen sowie Multiplikationstabelen behandelt. Dies hat mir damals bei der Aufgabe geholfen.
Viele Grüße
Stella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Di 23.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Michael!
Zunächst einmal ist ein Körper immer kommutativ, bezüglich beider Operationen. Ein Ring, für den zwar multiplikative Inverse existieren, die Multiplikation aber nicht kommutativ ist, nennt man Schiefkörper.
Um zu zeigen, dass ein Körper [mm] $\IK$ [/mm] ein Unterkörper eines Körpers $L$ ist, musst du neben der Tatsache, dass [mm] $\IK$ [/mm] eine (nichtleere!) Teilmenge von $L$ ist, folgendes zeigen:
$a,b [mm] \in \IK \quad \Rightarrow \quad [/mm] a-b [mm] \in \IK$,
[/mm]
$a,b [mm] \in \IK \quad \Rightarrow \quad a\cdot b^{-1} \in \IK$,
[/mm]
wobei die beiden Operationen die aus [mm] $\IL$ [/mm] sind.
Einen elementaren Beweis, warum in dem Körper mit vier Elementen auf jeden Fall $1+1=0$ gelten muss, findest du im Beutelspacher sehr schön beschrieben. Mit etwas mehr algebraischen Kenntnissen kann man das natürlich eleganter begründen, aber das lassen wir mal beiseite, denn damit könntest du nichts anfangen.
Ich denke damit ist deine Frage restlos beantwortet.  Oder? 
Liebe Grüße
Julius
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