Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Do 23.12.2004 | | Autor: | maria |
Hallo! Hier ist mal wieder Maria. Ich krieg bald die Krise, echt. Diese Körper machen mich echt total fertig!!!! Ich hab das Gefühl mit meiner Weihnachtsnachholaktion total stecken zu bleiben und viel zu langsam voran zu kommen. Fast das ganze Übungsblatt 4 kann ich nicht nachvollziehen. Hier ist eine Aufgabe davon:
Untersuchen Sie, ob die Menge [mm] K=\IR\times\IR [/mm] der geordneten Paare aus reelen Zahlen durch die nachfolgend unter a),b) bzw.c) angegeben Vorschriften für Addition und Multiplikation zu einem Körper wird!
a) (a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d):=( ac , ad+bc)
b) (a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d):=( ac+bd , ad+bc)
c) (a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d):=( ac-bd , ad+bc)
Sowas hab ich noch nie gesehen, was schreiben die bei a), b), c) eigentlich?? Sind diese Vorschriften einfach so ausgedacht? Was muss man denn hier machen, um zu untersuchen, ob sie einen Körper bilden. Ich brauch irgendwie mal ein Beispiel.
|
|
| |
|
Hallo Maria!
Also als erstes will ich dich mal ein bisschen beruhigen. Ich hatte mir eigentlich vorgenommen, in den Ferien ein Proseminarvortrag vorzubereiten, aber eigentlich müsste ich auch total viel nachholen, wenn ich nicht zwei Nachklausuren schreiben will...
Da bist du also schon mal wenigstens vom Vorsatz her besser als ich!  Und dann kann ich dir noch sagen, dass ich so eine Aufgabe vor zwei Jahren auch nicht verstanden habe, das kommt (hoffentlich) mit der Zeit, wobei ich auch heute nicht gerade die Leuchte in solchen Sachen bin...
Also, ich will mal mein Glück bei dieser Aufgabe versuchen:
> Untersuchen Sie, ob die Menge [mm]K=\IR\times\IR[/mm] der geordneten
> Paare aus reelen Zahlen durch die nachfolgend unter a),b)
> bzw.c) angegeben Vorschriften für Addition und
> Multiplikation zu einem Körper wird!
>
> a) (a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)
> (a,b)*(c,d):=( ac , ad+bc)
>
> b) (a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)
> (a,b)*(c,d):=( ac+bd , ad+bc)
>
> c) (a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)
> (a,b)*(c,d):=( ac-bd , ad+bc)
>
> Sowas hab ich noch nie gesehen, was schreiben die bei a),
> b), c) eigentlich?? Sind diese Vorschriften einfach so
> ausgedacht? Was muss man denn hier machen, um zu
> untersuchen, ob sie einen Körper bilden. Ich brauch
> irgendwie mal ein Beispiel.
Also, ich hoffe, ich habe jetzt die richtigen Axiome im Kopf, aber bei einem Körper haben wir es auf jeden Fall mit einer kommutativen Gruppe bzgl. der Addition zu tun. So, und um zu gucken, ob die Addition, die da in a definiert ist, kommutativ ist, nehmen wir zwei Tupel (wir haben es hier offensichtlich mit solchen zu tun, also z. B. könnten das zweidimensionale Vektoren sein, die addiert man nämlich genauso. Also von mir aus: (1,2)+(3,4)=(4,6) - wenn man das in "Vektorschreibweise" schreibt, sieht das allerdings meistens so aus:
[mm] \vektor{1\\2}+\vektor{3\\4}=\vektor{4\\6}
[/mm]
das nennt sich übrigens komponentenweise Addition, weil man die einzelnen "Komponenten" addiert, aber das weißt du vielleicht schon?).
So, sorry, wo waren wir eigentlich? Ach ja, bei der Addition in a:
Wenn wir jetzt also unsere beiden Tupel addieren, machen wir das ja so:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (so ist das ja definiert!)
und jetzt wollen wir gucken, ob das Gleiche rauskommt, wenn wir das anders herum machen, also:
(c,d)+(a,b)=(c+a,d+b)
Mmh, ist das jetzt das Gleiche? Ja, denn: im rechten Teil, also im Ergebnis, befindet sich das "+" in einer Komponente, also nicht zwischen den beiden Tupeln, sondern zwischen zwei reellen Zahlen. Und dass die Addition in [mm] \IR [/mm] kommutativ ist, wissen wir (das habt ihr bestimmt bewiesen). Also gilt:
(a+c,b+d)=(c+a,d+b)
und somit ist die Addition kommutativ.
Alles klar?
So, dann muss es ein neutrales und ein inverses Element geben (wir sind immer noch bei der Addition). Diese Elemente sieht man meistens recht leicht, hier hätten wir:
e=(0,0) und zu (a,b) ist das Inverse (-a,-b), denn:
(a,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b)
und
(a,b)+(-a,-b)=(a-a,b-b)=(0,0)=e
Ich denke, das kannst du alles nachvollziehen, wahrscheinlich musst du nur das Prinzip verstehen, denn so, wie wir das Rechnen aus der Schule gelernt sind, machen wir uns über solche Sachen anfangs keine Gedanken und wissen nicht, was die da von uns wollen...
So, deswegen versuchen wir es noch weiter:
Es fehlt noch die Assoziativität der Addition (übrigens ist die Reihenfolge hier etwas wirr - ich hab' damit angefangen, was mir zuerst einfiel.... für diese Aufgabe musst du das sowieso nicht alles so machen, aber dazu später), also wollen wir wissen:
[(a,b)+(c,d)]+(e,f)=(a,b)+[(c,d)+(e,f)] ? (nennen wir das mal (*))
dafür machen wir:
[(a,b)+(c,d)]+(e,f)=[(a+c,b+d)]+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f) (hier musst du dir jetzt vorstellen, dass a+c eine Zahl ist, wenn du Werte gegeben hast, ist das ja auch so, und dann musst du die Addition genauso anwenden, wie eben)
So, und jetzt befinden wir uns in jeder Komponente wieder in [mm] \IR, [/mm] also (a+c)+e ist die eine Komponente, da können wir (weil die Addition in [mm] \IR [/mm] assoziativ ist) auch schreiben: a+(c+e) und in der zweiten Komponente können wir aus dem gleichen Grund schreiben: b+(d+f) und das jetzt "zurückverwandeln" und wir erhalten das Gewünschte:
(a+(c+e),b+(d+f))=(a,b)+[(c+e),(d+f)]=(a,b)+[(c,d)+(e,f)]
Du hättest auch von der Ausgangsgleichung (*) ausgehend die linke und die rechte Seite umformen können, sodass du dann beide Male dasselbe dastehen hast, das ist im Prinzip nur ne Aufgabe des Aufschreibens, ansonsten ist das total wurscht! 
So, damit hätten wir gezeigt, dass wir es schon mal mit einer kommutativen Gruppe zu tun haben.
Was fehlt uns noch für einen Körper?
Mit der Multiplikation ohne das neutrale Element muss es auch eine abelsche Gruppe sein, also überprüfen wir das auch mal:
Nehmen wir also wieder unsere beiden Tupel und multiplizieren sie (ich fange mal wieder mit der Kommutativität an):
(a,b)*(c,d)=(ac,ad+bc)
(c,d)*(a,b)=(ca,cb+da)
und da wir uns hier wieder in jeder Komponente in [mm] \IR [/mm] befinden, können wir sowohl in der Addition als auch in der Multiplikation "vertauschen" (also kommutieren!) und erhalten somit, dass das das Gleiche ist (denn ac=ca und ad=da und bc=cb und somit auch ad+bc=cb+da).
Ist das soweit klar?
So, was nun? Neutrales und Inverses:
e=(1,1) und zu (a,b) ist das Inverse [mm] (\bruch{1}{a},\bruch{1}{b}), [/mm] das verifiziere ich jetzt mal nicht, das kannst du ja mal versuchen, ist halt wieder einfach nur hinschreiben. (und bedenke, dass es zu (0,0) kein Inverses geben muss, bzw. hier sogar gar nicht darf)
So, nun noch die Assoziativität - die schaffst du glaube ich auch alleine, das ist wohl harrgenau genauso, wie bei der Addition.
Und dann fehlt noch die Distributivität - die versuche ich jetzt mal:
es soll gelten:
(a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f) (ich weiß gerade nicht, muss das zweite Distributivgesetz auch gelten?)
jedenfalls haben wir hier:
(a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c+e,d+f) nach Definition der Addition
=(a(c+e),a(d+f)+b(c+e)) nach Definition der Multiplikation (merke: die 1. Komponente ergibt sich aus: 1. Komponente der 1. Zahl mal 1. Komponente der 2. Zahl; 2. Komponente ergibt sich aus: 1. Komponente der 1. Zahl mal 2. Komponente der 2. Zahl + 2. Komponente der 1. Zahl mal 1. Komponente der 2. Zahl)
So, und das wäre jetzt:
=(ac+ae,ad+af+bc+be) wir befinden uns ja wieder in [mm] \IR...
[/mm]
und der rechte Teil von oben:
(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)=(ac,ad+bc)+(ae,af+be)=(ac+ae,ad+bc+af+be)
ha, und siehe da, es ist das Gleiche (ich hoffe, ich habe hier jetzt keinen Rechenfehler eingebaut... )
So, haben wir noch was vergessen? Ich glaube nicht, aber da es schon spät ist, will ich das mal nicht ausschließen, genau wie Tipp- oder Rechenfehler...
Ich habe dir das jetzt hier mal sehr ausführlich vorgeführt, ich hoffe, es hilft. So ausführlich musst du es aber nur machen, wenn es ein Körper ist. Wenn es nämlich keiner ist, reicht es, die Eigenschaft zu zeigen, die nicht gilt.
Da die Addition in a, b und c gleich definiert ist, brauchst du danach also schon mal gar nicht mehr gucken, sie gibt eine kommutative Gruppe (sofern ich mich hier jetzt nicht vertan habe, aber dann wäre die ganze Aufgabe auch gelöst, weil dann weder a noch b noch c ein Körper sein könnten, wegen der Addition). Es muss also irgendeine Eigenschaft bei der Multiplikation sein, die nicht gilt, wenn es kein Körper ist. So spontan kann ich dir das jetzt nicht sagen - es ist wirklich schon spät, sorry. Aber vielleicht schaffst du's ja auch alleine?
Du kannst deine "Rechnungen" gerne schicken, dann gucke ich mir das an und helfe notfalls weiter.
Ich hoffe, ich habe dich jetzt durch diese laaaaaaaaaaaaaange Erklärung nicht geschockt oder verwirrt ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") .
Viele Grüße und frohe Weihnachten
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 Fr 24.12.2004 | | Autor: | maria |
Also erstmal ein riesengroßes Dankeschön an dich!!!!! Das nenn ich mal nen fleißgen Weihnachtsmann. Ich hab zwar noch nicht alles durchgelesen, aber deine ersten Sätze haben mir jetzt schon geholfen etwas ruhiger ins Bett zu gehen. Bitte sag mir nicht, wie lange du dafür gebraucht hast, denn sonst bekomm ich gleich n schlechtes Gewissen. Also nochmals: Vielen, vielen Dank!!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:38 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander
in der laaaaangen Erklärung hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen, nämlich beim Neutralen resp. Inversen Element der Multiplikation.
Uebrigens noch was: ja, diese "Addition" und "Multiplikation" sind frei erfunden! Man soll einfach nachweisen, ob mit dieser Definition der Operationen auch alle Körperaxiome erfüllt sind. Das ist eigentlich nur eine Fleissarbeit.
>
> (a,b)*(c,d)=(ac,ad+bc)
>
> (c,d)*(a,b)=(ca,cb+da)
>
> So, was nun? Neutrales und Inverses:
>
> e=(1,1) und zu (a,b) ist das Inverse
Hier ist der Fehler. Das dürfen wir nicht einfach so annehmen. Vielmehr müssen wir uns auf die Definition des Neutralen Elementes besinnen. Ich nenne das Neutrale Element zu diesem Zweck einmal e=(x,y) und versuche x und y so zu bestimmen, dass gilt:
(a,b)*(x,y)=(a,b)
So ist ja das Neutrale Element definiert. Wenn man eine beliebige "Zahl" damit multipliziert, muss als Resultat wieder diese "Zahl" herauskommen.
Ich meine damit natürlich ein beliebiges Körperelement!
Kann man also x und y berechnen?
Wenn man die definierte Multiplikation linkes in der Gleichung anwendet, dann ergibt sich als Gleichung:
(ax,ay+bx)=(a,b)
Das muss Komponentenweise gelten, wir erhalten also 2 Gleichungen, die in [mm] \IR [/mm] aufgelöst werden dürfen:
I) $ax=a [mm] \Rightarrow [/mm] x=1$
II) $ay+bx=b_$
Mit x=1 ergibt sich daraus schon:
$ay+b=b_$
somit
$ay=0$
und weiter
$y=0$
Das Neutrale Element der Multiplikation ist also gefunden:
e=(1,0)
Das kann jetzt auch nochmals überprüft werden:
$(a,b)*(1,0)=(a*1,a*0+b*1)=(a,b)_$
Für das Inverse muss das Entsprechende gemacht werden.
Wenn ich das Inverse mit (x,y) bezeichne, dann muss gelten:
$(a,b)*(x,y)=(1,0)_$
Recht habe ich das weiter oben gefundene Neutrale Element eingesetzt.
Das muss für alle (a,b) gelten, ausser für das Neutrale Element der Addition ((0,0)). Wir dürfen also voraussetzen: $a [mm] \not [/mm] = 0$ und $b [mm] \not [/mm] = 0$.
Versuchen wir das mal:
$(ax,ay+bx)=(1,0)_$
Die erste Komponente führt zu:
$ax=1_$ (In den reellen Zahlen)
Weil nach Voraussetztung $a_$ ungleich Null ist, darf ich durch $a_$ dividieren und erhalte:
[mm] $x=\bruch{1}{a}$
[/mm]
Die zweite Komponente führt zu:
$ay+bx=0_$
$x_$ kennen wir schon!
[mm] $ay+\bruch{b}{a}=0$
[/mm]
[mm] $ay=-\bruch{b}{a}$
[/mm]
[mm] $y=-\bruch{b}{a^2}$
[/mm]
Das Inverse Element bezüglich der Multiplikation ist also dieses:
[mm] $(a,b)^{-1}=(\bruch{1}{a},-\bruch{b}{a^2})$
[/mm]
Auch das kann man jetzt verifizieren:
[mm] $(a,b)*(\bruch{1}{a},-\bruch{b}{a^2})=(a*\bruch{1}{a},a*-\bruch{b}{a^2}+b*\bruch{1}{a}=(1,0)$
[/mm]
Rechterhand steht tatsächlich das Neutrale Element der Multiplikation, wie wir das erhofft haben!
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:45 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Maria, hallo Paul!
Ja, sorry, natürlich, das war verkehrt. Ich hatte da gar nicht wirklich drüber nachgedacht... tut mir echt leid. Aber zum Glück hat's ja jemand gemerkt.
Und, Maria: Wenn du schon so fleißig bist und in den Ferien lernen willst, dann müssen wir dir doch auch helfen! Und schließlich war hier heute bzw. gestern nicht so wirklich viel los, da konnte ich mir so eine lange Antwort leisten. Und wenn man dann auch noch eine Rückmeldung bekommt, dann macht das erst recht Spaß! Also, frag ruhig nach, wenn du was nicht verstehst.
Und was mich noch interessieren würde: was bedeutet deine Signatur da unten?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 24.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Maria, liebe Christiane,
In meine Mitteilung hat sich auch ein Fehler eingeschlichen, und zwar ein schwerwiegender, der das Schlussresultat in Frage stellt!
Ich vermute, das Schlussresultat werde so lauten: Es handelt sich mit diesen Operationen um einen Körper. Das ist aber falsch!
Bei der Berechnung des Inversen Elementes der Multiplikation ist mir ein Fehler unterlaufen!
Ich hatte ja voraiusgesetzt, dass a und b nicht gleichzeitig den Wert 0 haben dürfen. Nur das Neutrale Element der Addition ist in einem Körper von der Pflicht entbunden, ein zugehöriges Inverses Element bezüglich der multiplikation zu haben.
Im vorliegenden Möchtegern-Körper haben aber alle Elemente der Form (0,x) kein zugehöriges Inverses Element bezüglich der Multiplikation!!
Somit handelt es sich hier nicht um einen Körper!
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
