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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Sa 26.01.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | Warum ist ein Integritätsring, der nur endlich viele Elemente besitzt ein Körper? |
Ein Integritätsring ist ein Ring der keine Nullteiler besitzt. Zudem ist er ein kommutativer Ring mit Einselement.
Und ein Körper hat zu jedem multiplikativen Element ein Inverses und ist ebenfalls nullteilerfrei.
Aber wie muss ich argumentieren, dass ich sagen kann dass ein Integritätsring ein Körper ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 26.01.2008 | | Autor: | unknown |
Moin,
Du musst zeigen, dass für ein beliebiges von Null verschiedenes Element [mm] ${\textstyle a}$ [/mm] Deines Ringes ein Inverses existiert, also ein Element [mm] ${\textstyle b}$ [/mm] mit [mm] ${\textstyle ab = 1}$. [/mm] Versuch Dir vielleicht mal zu überlegen, dass die Abbildung [mm] (${\textstyle R}$ [/mm] ist der Ring)
[mm] $\displaystyle [/mm] f : [mm] \begin{cases} R \to R \\ x \mapsto f(x) := ax \end{cases}$
[/mm]
injektiv ist. Wenn Du dann die Voraussetzung über [mm] ${\textstyle R}$ [/mm] anwendest, steht die Lösung fast schon da.
Hoffe, das hilft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mo 28.01.2008 | | Autor: | TTaylor |
Erstmal vielen Dank, aber ich verstehe immer noch nicht warum ich dann da zu jedem Element ein Inverses habe. Warum kann ich die Funktion f(x) ->ax bilden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
sei a ein beliebiges Ringelement ungleich 0, d.h. a ∈ [mm] R\{0}. [/mm] Die Menge [mm] $\{a^n| n \in \IN\}$ [/mm] ist endlich, da der Ring endlich ist. Somit gibt es mit m < n und am=an ⇒ am(1-an-m)=0. Da a kein Nullteiler ist, muss (1-an-m) = 0 sein, d.h. aan-m-1=1.
LG
Alex
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