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| Aufgabe | | Sei K der Körper und [mm] K^m [/mm] der Vektorraum, welcher aus den m-Tupeln von Elementen aus K besteht, d.h. ein typisches Elment aus [mm] K^m [/mm] hat die Form [mm] (a_1, a_2, [/mm] ... , [mm] a_m) [/mm] mit [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_m [/mm] aus K. |
Wir verwenden oftmals in der Vorlesung [mm] K^m [/mm] allerdings wird auch machmal [mm] K^n [/mm] verwendet (Hierbei ist K der Körper und [mm] K^m [/mm] der Vektorraum, welcher aus den m bzw.n-Tupeln von Elementen aus K besteht, d.h. ein typisches Elment aus [mm] K^m [/mm] hat die Form [mm] (a_1, a_2, [/mm] ... , [mm] a_m) [/mm] mit [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_m [/mm] aus K). Das ist mir soweit klar. Aber kann mir jemand sagen, wann ich n bzw. m nehme, ist das völlig egal oder gibt es da feste Bestimmungen?
(vor allem wenn ich z.B. eine mxn-Matrix oder nxn habe)?
Danke.
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Hallo Alexandra,
> Sei K der Körper und [mm]K^m[/mm] der Vektorraum, welcher aus den
> m-Tupeln von Elementen aus K besteht, d.h. ein typisches
> Elment aus [mm]K^m[/mm] hat die Form [mm](a_1, a_2,[/mm] ... , [mm]a_m)[/mm] mit [mm]a_1[/mm]
> bis [mm]a_m[/mm] aus K.
> Wir verwenden oftmals in der Vorlesung [mm]K^m[/mm] allerdings wird
> auch machmal [mm]K^n[/mm] verwendet (Hierbei ist K der Körper und
> [mm]K^m[/mm] der Vektorraum, welcher aus den m bzw.n-Tupeln von
> Elementen aus K besteht, d.h. ein typisches Elment aus [mm]K^m[/mm]
> hat die Form [mm](a_1, a_2,[/mm] ... , [mm]a_m)[/mm] mit [mm]a_1[/mm] bis [mm]a_m[/mm] aus K).
> Das ist mir soweit klar. Aber kann mir jemand sagen, wann
> ich n bzw. m nehme, ist das völlig egal ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") oder gibt es da
> feste Bestimmungen?
Nein, feste Bestimmungen gibt's da nicht ...
> (vor allem wenn ich z.B. eine mxn-Matrix oder nxn habe)?
Ich nehme an, das meinst du im Zusammenhang mit linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen?!
Wenn du ne lineare Abbildung [mm] $f:\IK^n\to\IK^m$ [/mm] mit [mm] $f\left(\vektor{x_1\\x_2\\\vdots\\x_n}\right)=\vektor{y_1\\y_2\\\vdots\\y_m}$ [/mm] hast, so kannst du die (bzgl. gewählter Basen) durch eine Abbildungsmatrix $A$ beschreiben.
Diese hat das Format [mm] $m\times [/mm] n$ und Einträge aus [mm] $\IK$
[/mm]
Also [mm] $f\left(\vektor{x_1\\x_2\\\vdots\\x_n}\right)=A\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\\vdots\\x_n}=\vektor{y_1\\y_2\\\vdots\\y_m}$
[/mm]
Das kansnt du dir klarmachen, wenn du die "Formate" mal näher betrachtest
Es wird eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix mit einem Spaltenvektor mit n Einträgen, also einer [mm] $n\times [/mm] 1$-Matrix multipliziert, heraus kommt also eine [mm] $m\times [/mm] 1$-Matrix, also ein Spaltenvektor mit m Einträgen.
Umgekehrt, wenn du eine lineare Abbildung [mm] $f:\IK^m\to\IK^n$ [/mm] hast.
Dort bekommst du dann entsprechend eine Abbildungsmatrix vom Format [mm] $n\times [/mm] m$
Allg. $V,W$ Vektorräume über einem Körper [mm] $\IK$ [/mm] mit $dim(V)=n, dim(W)=m$
Dann kannst du eine lineare Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] W$ (bzgl. gegebener Basen) beschreiben durch eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix (mit Einträgen aus [mm] $\IK$)
[/mm]
> Danke.
Gruß
schachuzipus
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