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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:16 Do 23.06.2005 | | Autor: | Christian |
...daß ich hier so reinplatze, aber ich wußte nicht so recht wohin mit dieser Frage, weil es etwas ist, was mich seit heute morgen etwa beschäftigt, es aber keinesfalls so dringend ist, daß man irgendein anderes Formum darum bemühen müßte. Ihr könnt den Artikel ja auch einfach löschen.
Stimmt es, daß man algebraisch abgeschlossene Körper nicht anordnen kann?
Denn: ich habe mir Folgendes überlegt: (wahrscheinlich wird ein ziemlich peinlicher Trugschluß drin sein...)
Ein Körper K heißt angeordnet (durch P), wenn es eine Teilmenge [mm] P\subset [/mm] K gibt mit folgenden Eigenschaften:
für [mm] a,b\in [/mm] P ist [mm] a*b\in [/mm] P und [mm] a+b\in [/mm] P sowie genau eine der drei folgenden Aussagen wahr:
[mm] a\in [/mm] P
-a [mm] \in [/mm] P
a = 0.
Sei jetzt K algebraisch abgeschlossen, d.h insbesondere ist K quadratisch abgeschlossen, d.h. also zu [mm] x\in [/mm] K existiert [mm] y\in [/mm] K mit [mm] x=y^2.
[/mm]
Angenommen, K ist angeordnet.
Sei nun [mm] -x\in [/mm] P.
Da K quadr. abg., folgt, daß es zu diesem x ein [mm] y\in [/mm] K gibt mit [mm] x=y^2, [/mm] nun ist aber für alle [mm] y\in [/mm] K: [mm] y^2=(-y)^2, [/mm] d.h. auf jeden Fall [mm] y^2\in [/mm] P. (für [mm] y\not=0, [/mm] aber das ist irrelevant).
Also kann aber, sofern K angeordnet ist, K nicht algebraisch abgeschlossen sein. Damit folgt dann die Behauptung.
Vielleicht hat ja jemand von euch beiden die Zeit/Lust, mal kurz drüber zu kucken. Das ist schon seltsam, bei den Übungsaufgaben in der Uni bin ich mir meist meiner Lösungen 98.7%ig sicher, aber wenn ich selbst irgendwelche Vermutungen habe, fühl ich mich wie ein kleines Kind...
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Do 30.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> drei folgenden Aussagen wahr:
> [mm]a\in[/mm] P
> -a [mm]\in[/mm] P
> a = 0.
Auch wenn ioch es erst jetzt sehe (und hoffe, das man noch reagiert, vllcht per PM?): was ist mit Körpern der Charakteristik 2? Da scheinen einige Tricks nicht zu gehen ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Sa 02.07.2005 | | Autor: | Christian |
> > drei folgenden Aussagen wahr:
> > [mm]a\in[/mm] P
> > -a [mm]\in[/mm] P
> > a = 0.
>
> Auch wenn ioch es erst jetzt sehe (und hoffe, das man noch
> reagiert, vllcht per PM?): was ist mit Körpern der
> Charakteristik 2? Da scheinen einige Tricks nicht zu gehen
> ...
>
> SEcki
Körper mit [mm] $\operatorname{char} [/mm] K=2$ sind aber auch quadratisch abgeschlossen und können offensichtlicherweise nicht angeordnet werden.
Was meinst Du denn mit Tricks?
Das oben zitierte ist einfach die Definition von "angeordnet".
Gruß,
Christian
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noch) kein Algebra-Experte (aber warten wir den Kurs mit Hanno demnächst erst mal ab, dann haben wir wenigstens einen Experten im Team... nämlich Hanno 
).
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