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Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mo 11.06.2012
Autor: el_grecco

Aufgabe
a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse an!
b) Was ist [mm] $\bruch{2}{3}$ [/mm] im Körper mit 5 Elementen?
c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an.

Hallo,

ich habe einige Probleme bei dieser Aufgabe.

a) Darf man hier auch natürliche Zahlen verwenden, oder muss man (bis auf die neutralen Elemente 0 und 1) abstrakte Elemente nehmen, z. B. 0, 1, a, b, c, d, e?

Die Definition für das multiplikative Inverse lautet:
Zu jedem $a [mm] \in [/mm] K [mm] \backslash \{0\}$ [/mm] existiert das multiplikative Inverse [mm] $a^{-1}$ [/mm] mit [mm] $a^{-1}*a=1.$ [/mm]

Ich probiere es mal...
Für 1: [mm] $\bruch{1}{1}*1 [/mm] = 1$

Für a: [mm] $\bruch{1}{a}*a [/mm] = 1$

Für b: [mm] $\bruch{1}{b}*b [/mm] = 1$
usw.

Allerdings bezweifle ich, dass das so richtig ist...?

b) Hier finde ich leider nicht mal einen eigenen Ansatz...

c) Ich wage mich mal an einen Ansatz heran:

K = {0, 1, a, b, c, d, e, f, g, h, i}

[mm] $\begin{array}{c|c c c c c c c c c c c} + & 0 & 1 & a & b & c & d & e & f & g & h & i\\ \hline 0 & 0 & 1 & a & b & c & d & e & f & g & h & i\\ 1 & 1 & 0 & b & c & d & e & f & g & h & i & a\\ a & a & b & \\ b & b & c\\ c & c & d\\ d & d & e\\ e & e & f\\ f & f & g\\ g & g & h\\ h & h & i\\ i & i & a\\ \end{array}$ [/mm]

Stimmt dieser Weg (wenn ja, was wäre dann z.B. a + a?)?

Vielen Dank für die Mühe!

Gruß
el_grecco


        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Mo 11.06.2012
Autor: teo

Hallo,

zu a) du nimmst dir die Menge der Restklassen also: {1,2,3,4,5,6} jetzt musst du die Zahlen nehmen und schauen welche miteinander multipliziert den Rest 1 modulo 7 haben. Für die b) brauchst du das dann weil ja 2/3 = [mm] 2*3^{-1} [/mm] ist. Das kannst du dann also schnell hinschreiben.

Grüße

Bezug
                
Bezug
Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Di 12.06.2012
Autor: el_grecco

Aufgabe
a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse an!
b) Was ist $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ im Körper mit 5 Elementen?
c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an.

Hallo teo,

> zu a) du nimmst dir die Menge der Restklassen also:
> {1,2,3,4,5,6} jetzt musst du die Zahlen nehmen und schauen
> welche miteinander multipliziert den Rest 1 modulo 7 haben.

warum ist die 0 nicht in dieser Menge (es hieß ja 7 Elemente)?

1 mod 7 = 1

1 * 1 = 1 mod 7 = 1
2 * 4 = 8 mod 7 = 1
3 * 5 = 15 mod 7 = 1
4 * 2 = 8 mod 7 = 1
5 * 3 = 15 mod 7 = 1
6 * 6 = 36 mod 7 = 1

Meintest Du das so bzw. was ist dann das "multiplikative Inverse"?

> Für die b) brauchst du das dann weil ja 2/3 = [mm]2*3^{-1}[/mm]
> ist. Das kannst du dann also schnell hinschreiben.

Hier habe ich auch noch Verständnisschwierigkeiten, aber vielleicht verstehe ich die b), wenn ich die a) verstanden habe.

Zur c): Denke mal ich war mit meiner Tabelle auf dem Holzweg...?

Gruß
el_grecco


Bezug
                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Di 12.06.2012
Autor: teo

Hallo,

> a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen
> Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse
> an!
>  b) Was ist [mm]\bruch{2}{3}[/mm] im Körper mit 5 Elementen?
>  c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und
> Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an.
>  Hallo teo,
>  
> > zu a) du nimmst dir die Menge der Restklassen also:
> > {1,2,3,4,5,6} jetzt musst du die Zahlen nehmen und schauen
> > welche miteinander multipliziert den Rest 1 modulo 7
> haben.
>  
> warum ist die 0 nicht in dieser Menge (es hieß ja 7
> Elemente)?
>  

Ja! Die Null ist natürlich drin. Hab sie nich reingeschrieben, weil in der Angabe "außer 0" stand. Aber natürlich ist [mm] \IZ/_{7\IZ} [/mm] = {0,1,2,3,4,5,6}.

> 1 mod 7 = 1
>  
> 1 * 1 = 1 mod 7 = 1
>  2 * 4 = 8 mod 7 = 1
>  3 * 5 = 15 mod 7 = 1
>  4 * 2 = 8 mod 7 = 1
>  5 * 3 = 15 mod 7 = 1
>  6 * 6 = 36 mod 7 = 1
>  

Genau! Das multiplikative inverse zu 2 ist hier also 4.

> Meintest Du das so bzw. was ist dann das "multiplikative
> Inverse"?
>  
> > Für die b) brauchst du das dann weil ja 2/3 = [mm]2*3^{-1}[/mm]
> > ist. Das kannst du dann also schnell hinschreiben.
>  
> Hier habe ich auch noch Verständnisschwierigkeiten, aber
> vielleicht verstehe ich die b), wenn ich die a) verstanden
> habe.
>  

Division im Körper ist immer die Multiplikation mit dem Inversen. In deiner Tabelle ist [mm] 3^{-1}= [/mm] 5 also ist 2/3 = 2*5 = ? <- hier wieder genau wie oben modulo 7 rechnen

> Zur c): Denke mal ich war mit meiner Tabelle auf dem
> Holzweg...?

Ja. Einfach die Elemente {0,1,...,10} miteinander multiplizieren bzw. addieren und hier dann modulo 11 rechnen.
  

> Gruß
>  el_grecco
>  

Grüße

Bezug
                                
Bezug
Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Di 12.06.2012
Autor: el_grecco

Aufgabe
a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse an!
b) Was ist $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ im Körper mit 5 Elementen?
c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an.

Hallo teo,

Danke für die rasche Antwort.

> Division im Körper ist immer die Multiplikation mit dem
> Inversen. In deiner Tabelle ist [mm]3^{-1}=[/mm] 5 also ist 2/3 =
> 2*5 = ? <- hier wieder genau wie oben modulo 7 rechnen

Bei der b) heißt es "Körper mit 5 Elementen". Darf mann dennoch die Ergebnisse aus a) (Körper mit 7 Elementen) verwenden bzw. mod 7 rechnen?

Zur c)

> Ja. Einfach die Elemente {0,1,...,10} miteinander
> multiplizieren bzw. addieren und hier dann modulo 11
> rechnen.

[mm] $\begin{array}{c|c c c c c c c c c c c} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2\\ 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 6 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 7 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 8 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ 9 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 10 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \end{array}$ [/mm]

So sollte das denke ich stimmen (Multiplikation dann analog)?

Gruß
el_grecco


Bezug
                                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:22 Di 12.06.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> > Division im Körper ist immer die Multiplikation mit dem
> > Inversen. In deiner Tabelle ist [mm]3^{-1}=[/mm] 5 also ist 2/3 =
> > 2*5 = ? <- hier wieder genau wie oben modulo 7 rechnen
>
> Bei der b) heißt es "Körper mit 5 Elementen". Darf mann
> dennoch die Ergebnisse aus a) (Körper mit 7 Elementen)
> verwenden bzw. mod 7 rechnen?

Nein, ja nicht. Die Menge aller Restklassen modulo m bildet genau dann bezüglich der Addition und Multiplikation von Restklassen einen Körper, wenn m prim ist. Daher die verwendeten Mächtigkeiten in dieser Aufgabe (das sind nämlich alles Primzahlen!). Bei der Aufgabe b) betrachtest du somit den Restklassenkörper modulo 5 und musst dementsprechend alles modulo 5 rechnen.

> Zur c)
>
> > Ja. Einfach die Elemente {0,1,...,10} miteinander
> > multiplizieren bzw. addieren und hier dann modulo 11
> > rechnen.
>
> [mm]$\begin{array}{c|c c c c c c c c c c c} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2\\ 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 6 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 7 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 8 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ 9 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 10 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \end{array}$[/mm]
>
> So sollte das denke ich stimmen (Multiplikation dann
> analog)?

Die Additionstabelle stimmt. Was meinst du mit analog bei der Multiplikation?


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Di 12.06.2012
Autor: el_grecco

Aufgabe
a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse an!
b) Was ist $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ im Körper mit 5 Elementen?
c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an.

Hallo Diophant/Hallo theo,

Danke für Eure Hilfe.

Zur b)

{0, 1, 2, 3, 4}

1*1 = 1 mod 5 = 1
2*3 = 6 mod 5 = 1
3*2 = 6 mod 5 = 1
4*4 = 16 mod 5 = 1

[mm] $3^{-1} [/mm] = 2$

2/3 = 2*2 = 4 mod 5 = 4

Stimmt das so?

Zur c)

> Die Additionstabelle stimmt. Was meinst du mit analog bei
> der Multiplikation?

Naja, die gleiche Kopfzeile/-spalte wie bei der Addition, dann das Produkt (statt der Summe) mod 11.

Gruß
el_grecco


Bezug
                                                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Di 12.06.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Zur b)
>
> {0, 1, 2, 3, 4}
>
> 1*1 = 1 mod 5 = 1
> 2*3 = 6 mod 5 = 1
> 3*2 = 6 mod 5 = 1
> 4*4 = 16 mod 5 = 1
>
> [mm]3^{-1} = 2[/mm]
>
> 2/3 = 2*2 = 4 mod 5 = 4
>
> Stimmt das so?

Ja: alle Inversen sind richtig und der Quotient passt somit auch.

>
> Zur c)
>
> > Die Additionstabelle stimmt. Was meinst du mit analog bei
> > der Multiplikation?
>
> Naja, die gleiche Kopfzeile/-spalte wie bei der Addition,
> dann das Produkt (statt der Summe) mod 11.

Naja, dass mit den Zeilen- und Spaltenköpfen hatte ich als selbstverständlich vorausgesetzt. Aber wenn du die Produkte richtig einträgst, dann passt es. ;-)


Gruß, Diophant

Bezug
                                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 Di 12.06.2012
Autor: teo


> a) Geben Sie zu jedem Element (außer der 0) des endlichen
> Körpers mit genau 7 Elementen das multiplikative Inverse
> an!
>  b) Was ist [mm]\bruch{2}{3}[/mm] im Körper mit 5 Elementen?
>  c) Geben Sie vollständige Tabellen für die Addition und
> Multiplikation des Körpers mit genau 11 Elementen an.
>  Hallo teo,
>  
> Danke für die rasche Antwort.
>  
> > Division im Körper ist immer die Multiplikation mit dem
> > Inversen. In deiner Tabelle ist [mm]3^{-1}=[/mm] 5 also ist 2/3 =
> > 2*5 = ? <- hier wieder genau wie oben modulo 7 rechnen
>  
> Bei der b) heißt es "Körper mit 5 Elementen". Darf mann
> dennoch die Ergebnisse aus a) (Körper mit 7 Elementen)
> verwenden bzw. mod 7 rechnen?

Nein natürlich modulo 5. Das habe ich überlesen. Entschuldigung.

>  
> Zur c)
>  
> > Ja. Einfach die Elemente {0,1,...,10} miteinander
> > multiplizieren bzw. addieren und hier dann modulo 11
> > rechnen.
>  
> [mm]$\begin{array}{c|c c c c c c c c c c c} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2\\ 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 6 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 7 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 8 & 8 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ 9 & 9 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 10 & 10 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \end{array}$[/mm]
>  
> So sollte das denke ich stimmen (Multiplikation dann
> analog)?
>  
> Gruß
>  el_grecco
>  


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