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Forum "Uni-Analysis" - Körper - Axiome
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Körper - Axiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Fr 28.10.2005
Autor: Commotus

Folgende Aufgabe:

Für x [mm] \varepsilon [/mm] K und n [mm] \varepsilon \IN [/mm] wird die n-fache Summe von x induktiv erklärt durch 0x = O, (n+1)x = (nx) + x für n  [mm] \ge [/mm] 0. Man zeige für n, m [mm] \varepsilon \IN [/mm] und x,y, [mm] \varepsilon [/mm] K:

1.) nx + mx = (n+m)x
2.) n(mx) = (nm)x
3.) nx + ny = n(x+y).

Wie kann ich bei dieser Aufgabe argumentieren, dass die Aussagen stimmen, immerhin sind n und m natürliche Zahlen und x und y Zahlen irgendeines Körpers K.

        
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Körper - Axiome: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Fr 28.10.2005
Autor: banachella

Hallo!

Probier's doch mal mit Induktion über $n$! Die erste Aufgabe lautet dann:

Induktionsanfang:
$m=1$:   $1*x+m*x=x+mx=(m+1)x$ nach Definition.

Induktionsvoraussetzung:
Sei nun die Behauptung für $n$ gezeigt.

Induktionsschritt:
[mm] $(n+1)x+(m)x=nx+mx+x\stackrel{IV}=(n+m)x +x\stackrel{Def}=(n+m+1)x$. [/mm]

Weißt du jetzt, wie du die anderen Aufgaben anpacken musst?

Gruß, banachella

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Körper - Axiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Fr 28.10.2005
Autor: Commotus

Was genau ist denn der Knackpunkt bei dieser Aufgabe? Worauf kommt es genau an?

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Körper - Axiome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Fr 28.10.2005
Autor: Stefan

Hallo Commotus!

Wie banachella schon meinte:

Die Aussagen sind mit vollständiger Induktion bei fest gewählten Körperelemente zu zeigen. Hast du denn den ersten Beweis verstanden?

Wie könnte man die zweite Aufgabe zeigen?

Zum Beispiel so:

Zu zeigen ist: $n(mx) = (nm)x$.

Dies zeigen wir für festes $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit vollständiger Induktion nach $n$.

Für $n=1$ ist aber nichts zu zeigen.

Induktionsschluss:

$(n+1)(mx)$

(nach Definition)

$=n(mx) + mx$

(nach Induktionsvoraussetzung)

$= (nm)x + mx$

(nach 1))

$= [(nm) + m]x$

$= [(n+1)m]x$,

was zu zeigen war.

Liebe Grüße
Stefan

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Körper - Axiome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:27 So 30.10.2005
Autor: Commotus

Wieso ist für n=1 nichts zu beweisen? Wie müsste der Induktionsanfang bei der zweiten und dritten Aufgabe vollständig aussehen?

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Körper - Axiome: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:43 So 30.10.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Ich meinte "es ist nichts zu zeigen" im Sinne von "es ist trivial".

Schreibe es halt für $n=1$ noch hin...

Liebe Grüße
Stefan

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Körper - Axiome: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 17:49 Fr 28.10.2005
Autor: Commotus

Wieso ist bei Aufgabe 2) für n=1 nichts zu zeigen? Muss ich dort etwa nichts hinschreiben? Was muss ich bei Aufgabe 3) für n=1 hinschreiben?


Desweiteren:

Analog definiert man [mm] x^0 [/mm] = 1, [mm] x^{n+1} [/mm] = [mm] (x^n)x. [/mm] Und es gelten [mm] x^nx^m [/mm] = [mm] x^{n+m}, (x^m)^n [/mm] = [mm] x^{mn}, x^ny^n [/mm] = [mm] (xy)^n [/mm]

Für x,y [mm] \varepsilon [/mm] K und n [mm] \varepsilon \IN [/mm] gilt der [mm] (x+y)^n [/mm] =   [mm] \summe_{k=0}^{n} {n\choose k}x^k y^{n-k} [/mm]

Läuft hier der Beweis der Formel genauso wie der Beweis, als wären x,y und n reelle Zahlen oder muss hier "anders" bewiesen werden?

------------------------------------------

"Man gebe einen Grund an, der es plausibel macht, dass in einer solchen Formel die Binomialkoeffizienten erscheinen."

-> Was sollte hier geschrieben werden?

------------------------------------------------



Ist zu nx + ny = n (x+y) dies hier richtig?

(n+1)x + (n+1)y

Gemäß Definition:

(nx) + x + (ny) + y = (nx) + (ny) + x + y

Induktionsvoraussetzung:
= n(x+y) + (x+y)

Gemäß Definition:

= (n+1) (x+y)

was zu zeigen war?


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Körper - Axiome: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:01 So 30.10.2005
Autor: matux

Hallo Commotus!


Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .


Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent

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