Körper,K-VR,Lin.Kombi < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Binary |
Hallo zusammen,
ich fasse gerade unser Mathesrkipt durch und nutze parallel auch das Lin.Algebrabuch vom Beutelsbacher.
Nun bin ich mir nicht so ganz sicher ob ich alles richtig verstanden habe bzw. habe noch paar Fragen dazu.
1.Körper.
Ein Körper besteht doch aus einer Menge, in der ja 2 Verknüpfungen gelten undzwar + und * bzw. die Additive und Multiplikative Verknüpfung, für diese gelten dann die Körperaxiome, richtig?
Ein Körper Vektorraum, ist doch ein Körper, dessen Menge V nur aus Vektoren besteht. Wobei (V,*) eine Abelsche Gruppe sein und (V,+) gilt.
Stimmt das?
Bei der Linear Kombination bin ich nicht so sicher.
Wenn ich die Lineare Abhängigkeit prüfen will, kann ich das ja unter anderem tun, in dem ich
[mm] x1*\vec{a}+x2*\vec{b}+x3*\vec{c}=0 [/mm] setze, wobei eines der Xi ungleich 0 sein muss, damit eine lin. abhängigkeit dafür gilt. (123 seien indixies)
Soweit ich das richtig Verstanden habe, ist
[mm] x1*\vec{a}+x2*\vec{b}+x3*\vec{c}
[/mm]
eine lin.kombi.
Wenn ich nun sage, [mm] Lin(M):={b\inV|b ist Lin.kombi von elementen aus M}
[/mm]
ist damit dann gemeint, das
[mm] b1*\vec{a}+b2*\vec{b}+b3*\vec{c} [/mm] ist?
oder ist b={b1;b2,b3}?
Ich hoffe sowas darf und kann man so hier fragen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> 1.Körper.
>
> Ein Körper besteht doch aus einer Menge, in der ja 2
> Verknüpfungen gelten undzwar + und * bzw. die Additive und
> Multiplikative Verknüpfung, für diese gelten dann die
> Körperaxiome, richtig?
Ja. Mach Dir klar, was diese Verknüpfungen miteinander verknüpfen: jeweils zwei Körperelemente.
>
> Ein Körper_Vektorraum, ist doch ein Körper, dessen Menge V
> nur aus Vektoren besteht. Wobei (V,*) eine Abelsche Gruppe
> sein und (V,+) gilt.
> Stimmt das?
Nein. Für einen Vektorraum brauchst Du folgende Zutaten:
eine Menge V, einen Körper K, eine Verknüpfung +, welche jeweils zwei Elemente aus V miteinander zu einem Element aus V verknüpft , und eine Verknüpfung [mm] \*, [/mm] welche jeweils ein Körperelement und ein Element aus V zu einem Element aus V verknüpft.
Wenn diese Verknüpfungen den Vektorraumaxiomen folgen, so nennt man V einen Vektorraum über K.
Bestandteil der Vektorraumaxiome ist, daß V mit der Addition eine abelsche Gruppe ist.
V ist aber keinesfalls ein Körper! Denn eine Multiplikation zwischen zwei Elementen aus V haben wir ja gar nicht.
Elemente eines Vektorraumes, heißen Vektoren. Diese können sehr verschiedene Gestalten haben, Es gibt auch Vektorräume, deren Vektoren Funktionen sind.
>
> Bei der Linear Kombination bin ich nicht so sicher.
>
> Wenn ich die Lineare Abhängigkeit prüfen will, kann ich das
> ja unter anderem tun, in dem ich
>
> [mm]x_1*\vec{a}+x_2*\vec{b}+x_3*\vec{c}=0[/mm] setze, wobei eines der
> [mm] x_i [/mm] ungleich 0 sein muss, damit eine lin. abhängigkeit dafür
> gilt. (123 seien indixies)
Das hat 'nen wahren Kern.
Wenn [mm] x_1*\vec{a}+x_2*\vec{b}+x_3*\vec{c}=0 [/mm] eine von [mm] x_1=x_2=x_3=0 [/mm] verschiedene Lösung hat, sind die eingesetzen Vektoren linear abhängig.
>
> Soweit ich das richtig Verstanden habe, ist
>
> [mm] x_1*\vec{a}+x_2*\vec{b}+x_3*\vec{c}
[/mm]
>
> eine lin.kombi.
Ja.
>
> Wenn ich nun sage, [mm] Lin(M):=\{b\inV|b \text{ist Lin.kombi von elementen aus M}\}
[/mm]
>
> ist damit dann gemeint, das
>
>b= [mm]b_1*\vec{a}+b_2*\vec{b}+b_3*\vec{c}[/mm] ist?
Wenn [mm] M=\{b_1;b_2,b_3\}, [/mm] dann haben alle Elemente der Linearen Hülle die Gestalt [mm] b_1*\vec{a}+b_2*\vec{b}+b_3*\vec{c}. [/mm] In der linearen Hülle sind sämtlcihe Linearkombinationen, die man aus Elementen aus M bilden kann.
> oder ist b={b1;b2,b3}?
>
> Ich hoffe sowas darf und kann man so hier fragen.
Ja.
Gruß v. Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Binary |
Super!
Vielen vielen Dank!
Jetzt habe ich auch die Lineare Hülle verstanden.
Jedoch habe ich noch eine Frage zu folgendem:
> > Ein Körper_Vektorraum, ist doch ein Körper, dessen Menge V
> > nur aus Vektoren besteht. Wobei (V,*) eine Abelsche Gruppe
> > sein und (V,+) gilt.
> > Stimmt das?
>
> Nein. Für einen Vektorraum brauchst Du folgende Zutaten:
>
> eine Menge V, einen Körper K, eine Verknüpfung +, welche
> jeweils zwei Elemente aus V miteinander zu einem Element
> aus V verknüpft , und eine Verknüpfung [mm]\*,[/mm] welche jeweils
> ein Körperelement und ein Element aus V zu einem Element
> aus V verknüpft.
Leider verstehe ich nicht, wie man zwei elemente aus V miteinander zu einem Element aus V verknüpft.
Habe ich im Buch und Skript auch nicht wirklich verstanden.
Wenn z.B. v1,v2,v3 [mm] \in [/mm] V dann würde das doch heißen, v1+v2=v3 oder wie darf man das verstehen?
Und beim der Multiplikation wäre dass dan vi+ki=kj ?
Tut mir leid, ist vielleicht eine Trivialefrage aber ich habs bis heute nicht wirklich verstanden.
|
|
|
| |
|
> > Für einen Vektorraum brauchst Du folgende Zutaten:
> >
> > eine Menge V, einen Körper K, eine Verknüpfung +, welche
> > jeweils zwei Elemente aus V miteinander zu einem Element
> > aus V verknüpft , und eine Verknüpfung [mm]\*,[/mm] welche jeweils
> > ein Körperelement und ein Element aus V zu einem Element
> > aus V verknüpft.
>
> Leider verstehe ich nicht, wie man zwei elemente aus V
> miteinander zu einem Element aus V verknüpft.
Hallo,
wie das im einzelnen vonstatten geht, kommt darauf an, wie die Verknüpfung definiert ist. Das kann von VR zu Vektorraum verschieden sein.
Wenn der Vektorraum aus Funktionen besteht, ist es ja klar, daß diese anders verknüpft werden als Pfeile.
Es gibt viele verschiedene Vektorräume. Die Verknüpfungen werden "mitgeliefert", genau wie die Menge und der Körper.
Einige Vektorräume kennst Du aus der Schule.
Dort habt Ihr Pfeile addiert und mit Zahlen multipliziert:
[mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 4}=\vektor{4 \\ 6}, 7*\vektor{1 \\ 2}=\vektor{7 \\ 14}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Binary |
Ah Super Danke!
Ich glaube ich habe es jetzt begriffen.
Bei deinem Beispiel ist dann wohl
[mm] \vektor{4 \\ 6} [/mm] und [mm] \vektor{7 \\ 14} \in [/mm] V
richtig?
|
|
|
| |
|
> Ah Super Danke!
> Ich glaube ich habe es jetzt begriffen.
>
> Bei deinem Beispiel ist dann wohl
>
> [mm]\vektor{4 \\ 6}[/mm] und [mm]\vektor{7 \\ 14} \in[/mm] V
>
> richtig?
Hallo,
ja. In dem Beispiel besteht die Menge V aus "2er-Spalten" , und der für den Vektorraum benötigte Körper ist dort [mm] \IR.
[/mm]
Aber das ist nur ein Beispiel für einen Vektorraum, das mußt man sich vor Augen halten.
Ein Vektorraum ist allgemein das, was den Vektorraumaxiomen gehorcht, und ein Vektor ein Element eines Vektorraumes.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 So 02.11.2008 | | Autor: | Binary |
Super!
Aller besten Dank!
Jetzt raff ich es!
|
|
|
|
