Körper aus Reellen Zahlen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mo 13.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe | auf der Menge [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] ist definiert:
(x1,y2)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2), (x1,y1)x(x2,y2) = (x1x2,y1y2)
zeige das [mm] \IRx\IR [/mm] ein Körper ist |
also gleich noch eine von mir
Kann ich das so zeigen:
also [mm] R=\IR [/mm] x [mm] \IR [/mm]
1.) (R,+) ist eine kommutative Gruppe , 0 ist neutrales Element
2.) (R,*) ist eine kommutative Gruppe, 1 ist neutrales Element
3.) Es gilt das Distributivgesetz
1.
(i) e' [mm] \in \IR [/mm] neutrales Element aus [mm] \IR, [/mm] e'' [mm] \in \IR [/mm] ist neutrales Element aus [mm] \IR [/mm] e:=(e',e'') (oder brauche ich nur zu sagen e [mm] \in [/mm] R ist neutrales Element)
(e', e'') + (x,y) = (0+x, 0+y) = (x,y) somit e neutrales Element
(ii)
(x1,y2)+(x2,y2) = (x2,y2)+(x1,y2) das wäre doch kommutativ, aber ist es somit auch gezeigt? da habe ich meine Zweifel.
(iii) x [mm] \in [/mm] R inverses dazu -x [mm] \in [/mm] R und y [mm] \in [/mm] R inverses dazu -y [mm] \in [/mm] R (oder kann ich da für -x und -y auch n und m nehmen, oder was ist da sinnvoll?)
(x,y)+(-x,-y) = (x+(-x),y+(-y)) = e
und nun für 2.
(i) (e',e'')*(x,y) = (e'*x, e''*y) = (x,y) somit e neutrales Element
(ii) x*y=y*x aber auch hier glaube ich nicht das dass so richtig ist oder?
(iii) (x,y)*(x^(-1),y^(-1))=(x*x^(-1),y*y^(-1))=e
und dann 3.
x,y,z [mm] \in [/mm] R
x*(y+z) = x*y + x*z
stimmt das so halbwegs??
liebe grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mo 13.10.2008 | | Autor: | statler |
> auf der Menge [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] ist definiert:
> (x1,y2)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2), (x1,y1)x(x2,y2) =
> (x1x2,y1y2)
> zeige das [mm]\IRx\IR[/mm] ein Körper ist
> also gleich noch eine von mir
Noch eine Antwort von mir. Die Behauptung in der Aufgabe ist schlichtweg falsch, überleg dir mal, warum.
Gruß
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:19 Mo 13.10.2008 | | Autor: | raemic |
> > auf der Menge [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] ist definiert:
> > (x1,y2)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2), (x1,y1)x(x2,y2) =
> > (x1x2,y1y2)
> > zeige das [mm]\IRx\IR[/mm] ein Körper ist
> > also gleich noch eine von mir
>
> Noch eine Antwort von mir. Die Behauptung in der Aufgabe
> ist schlichtweg falsch, überleg dir mal, warum.
Das ist eine ziemlich gute Frage, ev. kommt es daher das ich etwas essenzielles aus der Fragestellung weggelassen habe, was mir als LinAlg-Anfänger nicht wesentlich vorgekommen ist.
Kann es sein das die Aufgabe bzw. die Verknüpfungen für die Aufgabe nicht definiert sind und somit das Ganze keine Sinn ergibt? Bzw. ein Körper nicht aus einer Menge bestehen kann?
Und da ich jetzt einfach mal davon ausgehe das hier die meisten mit ihrem mathematischen Wissen die Aufgabe sicherlich trotzdem verstanden haben, bzw. meine falsche Aufgabenstellung durchschaut haben, könnte mir ev. jemand sagen ob meine "Lösung" ansatzweise richtig gewesen wäre? oder war es das, was schlichtweg falsch war?
Wäre super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo raemic!
Nur eine Gegenfrage: wie lautet denn das inverse Element der Multiplikation für [mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Di 14.10.2008 | | Autor: | raemic |
es gibt kein Inverses Element für [mm] \vektor{0 \\ 0}, [/mm] es gibt auch keines für [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] oder [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] aber wenn ich das richtig verstanden haben heisst das ja noch nicht das ich 0 nicht in der Menge haben darf bzw. das ich 0 nicht brauchen darf. bzw. ich muss ja 0 sogar für die Addition brauchen.
also ich meine was nützt mir den das, ich könnte doch die Gruppenaxiome zeigen nur beim Inversen müsste ich aufpassen weil es das mit 0 nicht gibt? oder? oder ist das alles Bockmist und es die Aufgabe kann kein Körper sein?
Oder wie wäre es z.B. wenn ich [mm] \IF_{2} [/mm] = {0,1} habe, und ich zeige soll das [mm] \IF_{2} [/mm] eine Gruppe sei.
Das klappt ja im Prinzip ganz gut, nur das ich halt bei der Mulitplikation nicht die 0 brauchen darf? oder sehe ich das falsch?
Gut wie es mit x,y,z [mm] \in \IF_{2} [/mm] für x*(y+z) = x*y+x*z aussieht bin ich etwas unsicher.
ich habe im moment etwas den Überblick verloren und bin mir nicht mehr 100% sicher ob das alles stimmt, was ich gerade eben gesagt habe, wär super wenn mir da jemand Klarheit schaffen könnte.
liebe grüsse
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> es gibt kein Inverses Element für [mm]\vektor{0 \\ 0},[/mm]
Hallo,
das wäre nicht schlimm, denn das wird für einen Körper ja auch nicht verlangt:
Es müssen nur die von der Null verschiedenen Elemente ein Inverses haben, und die Null in [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] mit den in der Aufgabe def. Verknüpfungen ist ja [mm] \vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
> es gibt
> auch keines für [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] oder [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
Und das vermasselt Dir die Körpereigenschaft.
Wenn Du glaubhaft machen kannst, daß [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] nicht invertierbar ist, brauchst Du nichts weiter mehr zu tun.
Hiermit ist dann "Körper" für [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] mit den in der Aufgabe def. Verknüpfungen gestorben.
> und es die Aufgabe kann kein Körper sein?
Ja.
Du mußt aufpassen, worüber Du redest, wenn Du 0 oder 1 schreibst.
Über die reellen Zahlen 0 und 1, oder über die neutralen Elemente zweier auf einer Menge definierten Verknüpfungen.
0 ist das neutrale Element der Addition in den reellen Zahlen, die Null in der Menge der Aufgabe [mm] (0_{\IR x \IR}) [/mm] ist vektor{0 [mm] \\ [/mm] 0}.
Es ist oft hilfreich, die Menge als Index dranzuschreiben, dann kommt man nicht so leicht durcheinander. Oder man verwendet statt 0 und 1 lieber n und e.
>
> Oder wie wäre es z.B. wenn ich [mm]\IF_{2}[/mm] = {0,1} habe, und
> ich zeige soll das [mm]\IF_{2}[/mm] eine Gruppe sei.
>
> Das klappt ja im Prinzip ganz gut, nur das ich halt bei der
> Mulitplikation nicht die 0 brauchen darf? oder sehe ich das
> falsch?
[mm]\IF_{2}[/mm] ist mit der Addition eine Gruppe, mit der Multiplikation nicht.
Aber [mm] \IF_{2} [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] ist mit der Multiplikation eine Gruppe.
> Gut wie es mit x,y,z [mm]\in \IF_{2}[/mm] für x*(y+z) = x*y+x*z
> aussieht bin ich etwas unsicher.
Das kannst Du ja ausrechnen:
was ist 0*(0+0), 0*(0+1), 0*(1+0), 0*(1+1), 1*(0+0), 1*(0+1), 1*(1+0), 1*(1+1) ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mi 15.10.2008 | | Autor: | raemic |
Hallo und vielen Dank für die Antwort,
ich habe es jetzt probiert, indem ich zeige das (0,1) und (1,0) Nullteiler sind.
ein Nullteiler ist ja wenn: a [mm] \not= [/mm] 0 und b [mm] \not= [/mm] 0 aber a*b=0
also habe ich angenommen das (0,1) z.B. a ist und (1,0) b, so ist ja a und b nicht gleich 0 aber mit der definierten Verknüpfung ist a*b=0 somit habe ich Nullteiler und die darf ja ein Körper nicht haben, also ist es kein Körper? stimmt das?
> > Gut wie es mit x,y,z [mm]\in \IF_{2}[/mm] für x*(y+z) = x*y+x*z
> > aussieht bin ich etwas unsicher.
>
> Das kannst Du ja ausrechnen:
>
> was ist 0*(0+0), 0*(0+1), 0*(1+0), 0*(1+1), 1*(0+0),
> 1*(0+1), 1*(1+0), 1*(1+1) ?
ja das stimmt schon? aber somit ist das ja noch nicht gezeigt, oder?
also wie konkret zeigt man das? oder anders gefragt, darf ich die 0 bei der Multiplikation einfach ohne weiteres brauchen, muss aber einfach bei der Inverse aufpassen das ich sie dort nicht nehme? ich hoffe du weisst wie ich meine.. :)
liebe grüsse
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> Hallo und vielen Dank für die Antwort,
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> ich habe es jetzt probiert, indem ich zeige das (0,1) und
> (1,0) Nullteiler sind.
>
> ein Nullteiler ist ja wenn: a [mm]\not=[/mm] 0 und b [mm]\not=[/mm] 0 aber
> a*b=0
>
> also habe ich angenommen das (0,1) z.B. a ist und (1,0) b,
> so ist ja a und b nicht gleich 0 aber mit der definierten
> Verknüpfung ist a*b=0 somit habe ich Nullteiler und die
> darf ja ein Körper nicht haben, also ist es kein Körper?
> stimmt das?
Hallo,
und: hui!!!
So viel wißt Ihr schon!
Ja, so kannst Du argumentieren.
>
>
>
> > > Gut wie es mit x,y,z [mm]\in \IF_{2}[/mm] für x*(y+z) = x*y+x*z
> > > aussieht bin ich etwas unsicher.
> >
> > Das kannst Du ja ausrechnen:
> >
> > was ist 0*(0+0), 0*(0+1), 0*(1+0), 0*(1+1), 1*(0+0),
> > 1*(0+1), 1*(1+0), 1*(1+1) ?
>
> ja das stimmt schon? aber somit ist das ja noch nicht
> gezeigt, oder?
> also wie konkret zeigt man das?
Indem Du das jeweils ausrechnest.
Z.B.:
0*(1+0)=0*1=0
0*1 + 0*0=0*0=0
> oder anders gefragt, darf
> ich die 0 bei der Multiplikation einfach ohne weiteres
> brauchen, muss aber einfach bei der Inverse aufpassen das
> ich sie dort nicht nehme?
Du mußt gucken, ob [mm] \IF_2 [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] eine Gruppe ist.
Gruß v. Angela.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 15.10.2008 | | Autor: | raemic |
> Hallo,
>
> und: hui!!!
>
> So viel wißt Ihr schon!
>
> Ja, so kannst Du argumentieren.
>
>
Hehe naja eigentlich hab ich immer wie öfter das Gefühl das ich gar nix weiss, die Mathe Vorlesungen bringen mich an den Rand der Verzweiflung, ich hab keine Ahnung wie ich das alles verstehen soll, aber das hab ich halt in einem Buch nachgeschlagen, bzw. wir hatten mal kurz was von Nullteilern und da habe ich da ein wenig nachgeforscht.
> > > > Gut wie es mit x,y,z [mm]\in \IF_{2}[/mm] für x*(y+z) = x*y+x*z
> > > > aussieht bin ich etwas unsicher.
> > >
> > > Das kannst Du ja ausrechnen:
> > >
> > > was ist 0*(0+0), 0*(0+1), 0*(1+0), 0*(1+1), 1*(0+0),
> > > 1*(0+1), 1*(1+0), 1*(1+1) ?
> >
> > ja das stimmt schon? aber somit ist das ja noch nicht
> > gezeigt, oder?
> > also wie konkret zeigt man das?
>
> Indem Du das jeweils ausrechnest.
>
> Z.B.:
>
> 0*(1+0)=0*1=0
> 0*1 + 0*0=0*0=0
>
>
> > oder anders gefragt, darf
> > ich die 0 bei der Multiplikation einfach ohne weiteres
> > brauchen, muss aber einfach bei der Inverse aufpassen das
> > ich sie dort nicht nehme?
>
> Du mußt gucken, ob [mm]\IF_2[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] eine Gruppe ist.
>
> Gruß v. Angela.
Ja das habe ich soweit verstanden das ich schauen muss ob [mm]\IF_2[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] eine Gruppe ist, ich glaub sogar dass es so ist, zumindest konnte ich es zeigen wenn ich einfach bei der Inversen der Multiplikation die Null ignoriert habe, aber mir ist nich vollkommen klar wie ich mir der 0 in der Multiplikation genau umgehen darf, da es ja eigentlich heisst [mm]\{0\}[/mm] aber die Null dann doch auftaucht usw.. bin halt dort ein wenig verwirrt.
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> aber mir ist nich vollkommen klar wie ich mir der 0 in der
> Multiplikation genau umgehen darf, da es ja eigentlich
> heisst [mm] \ \{0\}[/mm] aber die Null dann doch auftaucht usw.. bin
> halt dort ein wenig verwirrt.
Hallo,
es muß die Menge [mm] \IF_2 [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] eine Gruppe sein - das heißt aber nicht, daß man nicht mit der 0 multiplizieren darf.
Ihr habt bestimmt irgendwann mal gezeigt, daß stets Null*Irgendwas = Ńull ist.
Gruß v. Angela
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