Körper aus Restklassen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo,
wie kann man denn allgemein beweisen, dass es beim Rechnen mit Restklassen bei [mm] R_{n} [/mm] kein Inverses bzgl. der Multipilkation gibt?
Bei [mm] R_{p} [/mm] (Primzahlen) jedoch ein Inverses existiert?
Habe einige Beispiele durchprobiert: Für gibt es bspw. kein Inverses; wählt man i= 3, so erhält man keine weitere Restklasse j, bei der durch die Multiplikation mit i der Rest 1 herauskommt:
3 [mm] \odot__ [/mm] = 1.
Bei (bsp. 7) erhält man jedoch für jedes i aus ein Inverses, außer für 0 und 1.
Hoffe, es kann mir jemand helfen, einen allgemeinen Beweis zu finden, warum [mm] R_{n} [/mm] kein Inverses der Multiplikation hat.
Vielen lieben Dank schon einmal im Voraus!!!
Beste Grüße
Nescio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich nehme an R ist bei dir ein Hauptidealring. Dann gilt:
[mm] $R_m [/mm] = R/mR $ ist genau dann nullteilerfrei, wenn m eine Primzahl ist. (Die Nullteilerfreiheit impliziert die Eindeutigkeit der Inversen und damit die wesentliche Körpereigenschaft.)
Beweis: Annahme es ist m keine Primzahl, also darstellbar als $m = k*l$ mit $1 < k,l < m$, so ist [mm] $\overline{k}, \overline{l} \ne \overline{0}$ [/mm]
(also die Restklassen sind nicht die Nullklasse, weil k und l echte Reste bei der Division durch m sind.)
Es gilt aber [mm] $\overline{k} [/mm] * [mm] \overline{l} [/mm] = [mm] \overline{m} [/mm] = [mm] \overline{0}$. [/mm] Mit $1<k,l<m$ folgt dann das das nur nullteilerfrei ist, wenn k = m bzw. 1 oder l = 1 bzw. m ist, und das bedeutet die einzigen Teiler 1 und m sind und damit ist m Primzahl!
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo;),
vielen Dank für die schnelle Antwort. Von einem Hauptidealring habe ich leider noch nichts gehört... in der Vorlesung hatten wir bisher zur Bestimmung eines Körpers nur die Körperaxiome, sowie die Rechenregeln. Von "Nullteilerfrei" habe ich auch noch nichts gehört. Wir haben in diesem Zusammenhang nur mal kurz erwähnt, dass ab= 0, wenn a oder b gleich 0. Sonst haben wir mit der Befrifflichkeit (und v.a. im Zusammenhang mit dem Inversen) noch nichts gemacht. Gibt es denn eine andere Möglichkeit, zu beweisen, dass [mm] R_{n} [/mm] bzgl. der Multiplikation kein Inverses hat?
Vielen Dank für die Antwort im Voraus;),
liebe Grüße
Nescio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es sei $m= a [mm] \cdot [/mm] b$ mit $1 < a,b<m$ keine Primzahl.
Behauptung: Zu [mm] $\overline{a}$ [/mm] gibt es in [mm] $R_m$ [/mm] kein Inverses.
Wir nehmen an, es gäbe ein solches. Wir nennen es [mm] $\overline{c}$. [/mm]
Dann müsste gelten:
(*) [mm] $\overline{a} \cdot \overline{c} [/mm] = [mm] \overline{1}$.
[/mm]
Multiplizieren wir beide Seiten von (*) mit [mm] $\overline{b}$, [/mm] so erhalten wir wegen [mm] $\overline{b} \cdot \overline{a} [/mm] = [mm] \overline{b \cdot a} [/mm] = [mm] \overline{m} [/mm] = [mm] \overline{0}$:
[/mm]
[mm] $\overline{b} \cdot (\overline{a} \cdot \overline{c}) [/mm] = [mm] (\overline{b} \cdot \overline{a}) \cdot \overline{c} [/mm] = [mm] \overline{0} \cdot \overline{c} [/mm] = [mm] \overline{0} \ne \overline{b} [/mm] = [mm] \overline{b} \cdot \overline{1}$
[/mm]
wegen [mm] $\overline{b} \ne [/mm] 0$.
Dies ist der (erhoffte) Widerspruch...
Liebe Grüße
Stefan
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