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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:27 Di 02.10.2007 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ZU beweisende Rechenregeln in [mm] (\IR, [/mm] +, *):
(-x) * y = x *(-y) = - (x *y) und
(-x) *(-y) = x *y
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(-x) *y = (-1) *x *y = x *(-1) *y
= x *(-y) = x * (-1) * y = (-1) * x * y
= (-1) * (x * y)
= - (x * y)
und Zunächst:
(-1) * x * (-1) * y = x * y
(-1) * x * [mm] x^{-1} [/mm] * (-1) y * [mm] y^{-1} [/mm] = x * [mm] x^{-1} [/mm] * y * [mm] y^{-1}
[/mm]
(-1) * 1 * (-1) * 1= 1
(-1) * (-1) = 1
Somit können wir zeigen, dass
(-x) * (-y) = (-1)*x *(-1) *y = (-1) *(-1) *x *y = 1 *x * y = x *y
Reicht dies für eine Beweisführung aus?
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> ZU beweisende Rechenregeln in [mm](\IR,[/mm] +, *):
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> (-x) * y = x *(-y) = - (x *y) und
>
> (-x) *(-y) = x *y
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ohne daß Du uns mitteilst, was Du zum Beweis benutzen darfst, können wir Dir im Grunde gar nicht helfen.
Aber wir sind hier recht groß im Hellsehen, und deshalb errate ich, daß Ihr wißt, daß [mm] \IR [/mm] ein Körper ist, also die entsprechenden Axiome gelten, und Ihr die Rechenregeln oben mit diesen beweisen sollt.
Wenn das so ist, wie ich es mir denke, mußt Du jeden Schritt, den Du tust, mit diesen Axiomen begründen.
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> (-x) *y = (-1) *x *y = x *(-1) *y
> = x *(-y) = x * (-1) * y = (-1) * x * y
> = (-1) * (x * y)
> = - (x * y)
Allein schon, weil hier jegliche Begründung fehlt, kann das so nicht richtig sein.
(Du mußt deshalb nicht allzu betrübt sein, so etwas macht "man" am Anfang leicht verkehrt, gerade bei Dingen wie bei diesen Regeln, die einem seit Kl.7 in Fleisch und Blut übergegangen sind.)
Ich will Dir nun an einer Teilaussage vormachen, wie so etwas geht.
Zunächst die Körperaxiome.
In [mm] (\IR,+,*) [/mm] gelten die
Axiome der Addition
K1. (x+y)+z=x+(y+z) für alle x,y,z [mm] \in \IR
[/mm]
K2. x+y=y+x für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
K3. x+0=x für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
K4. Zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] gibt es genau ein -x [mm] \in \IR [/mm] mit x+(-x)=0
und die Axiome der Multiplikation
M1. (x*y)*z=x*(y*z) für alle x,y,z [mm] \in \IR
[/mm]
M2. x*y=y*x für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
M3. x*1=x für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
M4. Zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] 0 gibt es genau ein [mm] x^{-1} \in \IR [/mm] mit [mm] x*x^{-1}=1 [/mm] .
Distributivgesetz
D. x*(y+z)=x*y+x*z für alle x,y,z [mm] \in \IR
[/mm]
Möglicherweise sehen Deine Axiome geringfügig anders aus, das ist für das, was ich Dir zeigen möchte, egal.
Ich gehe außerdem davon aus, daß Ihr schon gezeigt habt, daß (*) 0*x=0 für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Zu zeigen ist nun (-x) * y = -(x*y) für alle x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Das ist ja zunächst gar nicht so selbstverständlich, sondern vielleicht sogar ein Grund zum Staunen: das Produkt aus dem Inversen bzgl. der Addition von x und y ergibt dasselbe wie das Inverse bzgl. der Addition vom Produkt aus x und y.
Beweis: Seien x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Es ist
0=0*y wegen (*)
=(x+(-x))*y wegen K4
=x*y+(-x)*y wegen D.
Aus 0=x*y+(-x)*y folgt nun wegen K4: es ist (-x)*y das Inverse von x*y bzgl der Addition, also (-x)*y=-(x*y), was zu beweisen war.
Ich hoffe, daß Dir das etwas fürs weitere Vorgehen hilft.
Gruß v. Angela
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