Körper mit 3 Elementen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo, mit euren Ausführungen habt ihr mir auch ein wenig
Leuchten in das Chaos der Mathematik gebracht. Bis im 1. Semester...
und ich muss eine ähnliche Aufgabe bezwingen.
Nur habe ich einen Körper mit K{0,1,c} gegeben. Daraus sollen
Verknüpfungen +und *gebildet werden. Allerdings
soll die Verknüpfungstabelle am Ende nur aus 0er und 1er bestehen.
Vielleicht kann mir jemand da weiter helfen.
Mein Ansatz
+ 0 1 c * 0 1 c
0 0 1 c 0 0 0 0
1 1 1 1+c 1 0 1 1*c
c c c+1 c+c c 0 c*1 c*c
Bei 1*c = 1 sowie c*1=1 wäre meine Überlegung
0*c=0 sowie c*0= 0
Bei c+1 und 1+c gibt es da eine Regel ob nun 1 oder 0 rauskommt?
Und inwieweit sind meine Überlegungen richtig?
Liebe Grüße Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderen Matheforum gestellt.
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Deine Additionstabelle kann nicht stimmen. Nach ihr ist [mm]1+1=1[/mm], woraus sich durch Addition des additiven Inversen von 1 auf beiden Seiten die Gleichung [mm]1 = 0[/mm] ergibt. Das ist aber in einem Körper streng verboten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hi, diese Frage habe ich im Raum Algebra schon gestellt, leider nicht ausführlich beantwortet bekommen. Die Aufgabe lautet:
Es sei K:= {0,1,c} eine dreielementige Menge. Definiere mit Hilfe zweier Verknüpfungstafeln eine Verknüpfung + und eine Verknüpfung * auf K, so dass aus K ein Körper mit Null-Element 0 und Eins-Element 1 wird.
Zum Ansatz:
In der Vorlesung hatten wir g (gerade Zahl, gedacht) und u (ungerade Zahl, gedacht) da kam raus:
+ g u * g u
g g u g g g
u u g u g u
Wenn ich das jetzt auf die gegebene Aufgabe reflektiere, erhalte ich
folgende Verknüpfung
+ 0 1 c
0 0 1 0+c
1 1 0 1+c
c c+0 c+1 c+c
* 0 1 c
0 0 0 0*c
1 0 1 1*c
c c*0 c*1 c*c
Wie komme ich jetzt bei der Variablen c auf 0 bzw. 1
damit die Verknüpfung einen Sinn ergibt?
bei c*c = 0, das ist ja noch nachvollziehbar aber bei den anderen...
Wäre lieb, wenn mir jemand hierzu eine Logik erklären könnte oder
eine Regel, damit zum Schluß überall 0er und 1er drin stehen.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, in jedem Fall ist $1+1=c$ und nicht $1+1=0$.
Beachte einfach in deiner Gruppentafel der Addition, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Element genau einmal autauchen muss.
Und $c+1=1$ würde zum Widerpruch $c=0$ führen, $c+1=c$ dagegen zum Widerspruch $1=0$. Also muss auf jeden Fall $c+1=0$ gelten. Dann kann aber nicht auch $1+1=0$ gelten. Da zudem auch nicht $1+1=1$ gelten kann (dann hätte man wieder $1=0$), muss auf jeden Fall $1+1=c$ gelten.
Mache in diesem Spiel einfach mal weiter...
Zur Multiplikation.
Für alle Elemente $x$ eines Körpers gilt immer:
$0 [mm] \cdot [/mm] x=0$
und
$1 [mm] \cdot [/mm] x=x$.
Weiterhin gilt: $x [mm] \cdot [/mm] y [mm] \ne [/mm] 0$, wenn $x [mm] \ne [/mm] 0$ und zugleich $y [mm] \ne [/mm] 0$.
Damit solltest du weiterkommen.
Beachte, dass in der 4-er Tafel (2 Zeilen, 2 Spalten) der von 0 verschiedenen Körperelemente bei der Multiplikation ebenfalls in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Körperelement genau einmal vorkommen muss (denn $(K [mm] \setminus \{0\}, \cdot [/mm] )$ ist eine Gruppe).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 So 06.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo !
Also ich dreh bald durch mit diesen Aufgaben, denn
wenn ich Deine Antwort auf die Verknüpfungstafel übertrage
dann wäre 1+1=c
c+1=0
0*x=0
1*x=x
x*y [mm] \not= [/mm] 0, wenn x [mm] \not= [/mm] 0 und zugleich y [mm] \not= [/mm] 0
Dann würde das bei mir so aussehen
[mm] \vmat{ + & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & c & 0 \\ c & 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] \vmat{ * & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & c \\ c & 0 & c & 1}
[/mm]
Aber laut Aufgabenstellung soll es doch ein Körper mit 1 und 0 werden,
aber dann müsste doch das c wegfallen und dann würde es nicht
mehr mit den Regeln übereinstimmen.... ode verstehe ich die Aufgabe
falsch?
Passen denn die Tafeln jetzt? Wenn nicht bitte ich um Geduld mit mir
ich komme mit den ganzen Abstrakten Sachen noch nicht wirklich zu recht.
Bin für jede Hilfe und Erklärung dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 So 06.11.2005 | | Autor: | tempo |
Hallo,
also ich kann dir zwar nicht dabei helfen die "c" rauszubekommen, aber ich denke ich kann dir sagen das deine verknüpfungstafel bezügl. der multiplikation (meiner meinung nach) stimmt.
bei der addition sollte aber (meines wissens nach)
c+0=0
0+c=0
c+c=1
sein; sonst müssten die tafeln passen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 06.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\vmat{ + & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & c & 0 \\ c & 0 & 0 & 0}[/mm]
Wie schon erwähnt in der Mitteilung: die Additionstabelle ist (ziemlich) falsch. Es gilt [m]c+0=c[/m], [m]c+1=0[/m], ...
> [mm]\vmat{ * & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & c \\ c & 0 & c & 1}[/mm]
Richtig.
> Aber laut Aufgabenstellung soll es doch ein Körper mit 1
> und 0 werden,
Ja und? Die sind in jedem Körper.
> aber dann müsste doch das c wegfallen und dann würde es
> nicht
> mehr mit den Regeln übereinstimmen.... ode verstehe ich
> die Aufgabe
> falsch?
Wieso sollte das c wegfallen?
SEcki
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Dieses [mm]c[/mm] scheint dich zu irritieren. [mm]c[/mm] ist hier keine Variable, sondern ein Bezeichner für das dritte Körperelement, also dasjenige, das weder 0 noch 1 ist. So wie in der Analysis ja auch [mm]\pi[/mm] keine Variable bezeichnet, sondern eine Abkürzung für [mm]3{,}14159 \ldots[/mm] ist.
Um dir die Sache zu erleichtern, gebe ich dir einmal eine mögliche Lösung. Ich schreibe statt [mm]c[/mm] jetzt -1. Die Bezeichnung wird sich im nachhinein rechtfertigen, sobald nämlich die Addition feststeht.
Unser Körper hat also drei Elemente: 0,1,-1
Jetzt müssen wir noch festlegen, wie addiert und multipliziert wird. Beginnen wir mit dem Einfacheren, der Multiplikation. Die geht nämlich genauso, wie du mit diesen drei Dingern auch rechnen würdest, wenn sie normale ganze Zahlen wären.
Und für die Addition denkst du dir eine Uhr. Im Unterschied zur gewöhnlichen Uhr hat sie aber nicht zwölf Stunden, sondern nur 3. Und die heißen 0,1,-1. Und wenn du jetzt [mm]\ldots +1[/mm] rechnest, so geht es auf der Uhr 1 Stunde weiter, ganz wie auf einer normalen Uhr auch. Wenn du dagegen [mm]\ldots +(-1) = \ldots -1[/mm] rechnest, geht es eine Stunde zurück.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt erstelle einmal aufgrund dieser Angaben die Multiplikations- und Additionstabelle für deinen Körper (keine Angst vor Gleichungen, die dem Gewohnten zu widersprechen scheinen!). Überprüfe, daß alle Körperaxiome erfüllt sind.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Doreen |
Hallo Leopold,
diese Erklärung hat gesessen...
und ja ich war total vom c irritiert...das ich nicht mehr
klar denken konnte. Aber das mit der Uhr, einfach fantastisch.
Das werde ich mir in Zukunft behalten.
Vielen TausendDank.
Liebe Grüße
Doreen
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