Körper mit 4 Elementen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Neco1982 |
Hallo,
meine Aufgabe ist es, einen Körper mit 4 Elementen zu konstruieren. Bisher habe ich versucht, Multiplikations -und Additionstabellen zu erstellen, jedoch eher geraten als gewusst. Diese sehen so aus:
+ 0 1 a b Ich habe es einfach nach System angeordnet, 0, 1, a, b und
0 0 1 a b wieder von vorne. Wie geht das richtig, ich meine rechnerisch?
1 1 a b 0
a a b 0 1
b b 0 1 a
* 0 1 a b Hier habe ich einfach nach dem 1mal1 gerechnet, weiß aber
0 0 0 0 0 nicht wie es bei a*b bspw weitergeht.
1 0 1 a b
a 0 a ? ?
b 0 b ? ?
Muss ich danach die Axiome anwenden? Oder habe ich mit diesen Rechentabellen schon den Körper konstruiert? Wie fahre ich genau fort?
Danke im Voraus,
Neco
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Gemäß deinen Angaben gilt:
[mm]b+b = a[/mm] (Additionstabelle)
[mm](1+1)b = a[/mm] (Distributivgesetz)
[mm]ab = a[/mm] (Additionstabelle)
[mm]b = 1[/mm] ([mm]a[/mm] besitzt ein multiplikatives Inverses)
Es soll ja aber sicher [mm]b \neq 1[/mm] sein. Mit andern Worten: So geht es nicht.
Dein Vorgehen ist aber prinzipiell richtig. Versuche, deine Additionstabelle anders anzulegen. Falls du schon einmal etwas von den beiden nicht-isomorphen Gruppen der Ordnung 4 gehört hast, dann nimm die andere.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Neco1982 |
Danke für deinen Tipp,
aber ich habe doch nochmal eine Frage. Wie erstelle ich die Additions -und Multiplikationstabelle? Durch Ausdenken und dann an den Gesetzen überprüfen? Oder gibt es da ein System???
Liebe Grüße und danke schon einmal.
Neco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Neco1982 |
Hallo,
habe in der Zwischenzeit eine Additiontabelle erstellt, wenn ich die Gesetze anwende funktioniert sie sogar;)
+ 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 0 a b
a a a 0 0
b b b 0 0
bei der Multi-tabelle komme ich allerdings noch nicht weiter
* 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a ? ?
b 0 b ? ?
wenn ich bspw. versuche für a*a= a zusetzen und a nach der Additionstabelle in (a+0) * (a+1) umforme, dann bekomme ich 1=a heraus. Bei den anderen funktioniert das ähnlich... komme nie auf das richtige Ergebnis. Gibt es keinen Körper mit vier verschiedenen Elementen, weil a immer gleich 1, 0 oder b?
Liebe Grüße
Vielen Dank!!
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> Danke für deinen Tipp,
>
> aber ich habe doch nochmal eine Frage. Wie erstelle ich die
> Additions -und Multiplikationstabelle? Durch Ausdenken und
> dann an den Gesetzen überprüfen? Oder gibt es da ein
> System???
Du willst ja, daß (K,+) und (K \ {0},*) Gruppen sind.
Das bedeutet, daß in Deinen Gruppentafeln in jeder Spalte und jeder Zeile genau einmal auftauchen muß.
> Additiontabelle erstellt,
>
>
> + 0 1 a b
> 0 0 1 a b
> 1 1 0 a b
> a a a 0 0
> b b b 0 0
Bei Dir ist z.B. a+1=a. Das bedeutet doch 1=0. Und damit wären es nur noch 3 Elemente, die Du hättest. Aber Du willst 4. Verschiedene!
> bei der Multi-tabelle komme ich allerdings noch nicht
> weiter
Fang mal mit der Multiplikationstabelle an. (K \ {0}, *) willst du ja zu einer Gruppe machen, und K \ {0} hat nur drei Elemente. Das ist verhältnismäßig einfach.
Als nächstes "bastele" Dir eine Additionstafel. Bei vier Elementen gibt es dafür zwei prinzipiell verschiedene Möglichkeiten.
Du mußt dann gucken, welche "paßt" .
Dabei hilft Dir gewiß dann jemand. Aber zuvor brauchst Du die Gruppentafeln.
(Falls Du nicht die Anfängervorlesungen besuchst, sondern die Algebra I, könnte Dir allerdings ein Blick in die Vorlesungsmitschrift Mühen sparen. Stichwort: Charakteristik.)
Gruß v. Angela
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