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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Do 21.10.2010 | | Autor: | Mousegg |
| Aufgabe | | Man beweise ,dass jede Gruppe mit höchstens 5 Elementen abelsch ist. |
Hallo ,
ich bräuchte dringend hilfe bei dieser Aufgabe . Wie setze ich hier mit dem Beweis an ? Ich denke es wäre möglich zu beweisen ,dass alle Gruppen mit 1 bis 4 Elementen abelsch sind , da es bei 4 ja nur zwei mögliche Gruppentafeln gibt, lässt sich ja die symmetrie zur Hauptdiagonalen überprüfen . Wie gehe ich aber bei 5 Elementen vor ? Gibt es nicht eine bessere Art diesen Sachverhalt zu beweisen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mousegg und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Man beweise ,dass jede Gruppe mit höchstens 5 Elementen
> abelsch ist.
> Hallo ,
> ich bräuchte dringend hilfe bei dieser Aufgabe . Wie
> setze ich hier mit dem Beweis an ? Ich denke es wäre
> möglich zu beweisen ,dass alle Gruppen mit 1 bis 4
> Elementen abelsch sind , da es bei 4 ja nur zwei mögliche
> Gruppentafeln gibt, lässt sich ja die symmetrie zur
> Hauptdiagonalen überprüfen . Wie gehe ich aber bei 5
> Elementen vor ? Gibt es nicht eine bessere Art diesen
> Sachverhalt zu beweisen ?
Ja, was weißt du über zyklische Gruppen?
Die Gruppen mit Primzahlordung, also mit Ordung 2,3,5 sind zyklisch, also ...
Eine Gruppe $G$ der Ordung 4 enthält entweder ein Element der Ordnung 4 und ist damit zyklisch, also ...
Oder für alle Elemente [mm] $g\in [/mm] G$ gilt [mm] $g\star [/mm] g=e$. Was folgt daraus?
Und letztlich sieht eine Gruppe der Ordung 1 wie aus?
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 21.10.2010 | | Autor: | Mousegg |
Hallo,
erstmal danke für die Hilfestellung. Ich bin nur leider noch sehr unwissend und darum vielleicht auch so überforderd mit der Aufgabe.Iist eine zyklische Gruppe sowas wie eine symmetrische Gruppe ? Bzw. was sind denn eigenschaften einer Zxklischen Gruppe?
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Hallo nochmal,
schaue doch mal hier rein:
https://www.vorhilfe.de/read?t=723376
Da wird dieselbe Aufgabe besprochen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:13 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mousegg |
hab jetzt einen möglichen Ansatz ??!!
1.)Hat ein beliebiges paar a*b eine Lösung X mit x beliebiges Element der 5 elementigen Menge G so darf eine Verknüpfung eines Elements dieses Paars ( also entweder a oder b) mit einem beliebigen Element von G nicht dieselbe Lösung X haben ( sonst kann man ja zeigen dass zB a*b=z und y*a=z => a*b=y*a => b=y also ein Widerspruch zu der Annahme G hat 5 Elemente)
2.)Geht man nun davon aus dass die Gruppe nicht abelsch ist gibt es insgesamt 6 Verknüpungen von einem Element mit beliebigen anderen Elementen (lässt man die mit dem neutralen und die mit sich selbst aus ) da G nicht abelsch ist haben demnach a*b und b*a unterschiedliche Lösungen .
Für alle weiteren Verknüpfungen von a bzw. b ( also jeweils 4 ) dürfen die Lösungen von a*b und b*a nach 1.) also nciht mehr verwendet werden . Somit gibt es für die 4 Verknüpfungen nur noch 5-2=3 Lösungen dh. es kommt zwangsläufig zu einer "Doppelbelegung" bzw einem Widerspruch wie in 1.) ausgeschlossen => Widerspruch
Oder hab ich vielleicht was übersehen was sehr gut möglich wäre ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist so kompliziert formuliert, dass ich nicht durchsteige, schon dein punkt 1 versteh ich nicht.
Wenn ich das durchlese denk ich immer, du hastin gedanken ne Verknüpfungstafel vor dir und zeigst aus der den Wdsp.
Warum schreibst du die dann nicht auf? Dann wird deine Argumentation vielleicht durchschaubar.
(Denk auch an inverse Elemente!
du hast mit e,a,b,c,d auch noch alle Inversen was folgt daraus bei 5 EL.)
auch deine Bezeichnungen sind verwirrend. nimm e,a,b,c,d oder xyzvw
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mousegg |
hallo,
ok ich versuch es nochmal man hat also eine gruppe g{e,a,b,c,d}
wenn also bspw. a*b=c ( a bzw.b fallen raus )
so könnte b*a wenn g nicht kommutativ ist ja zB b*a=d sein
jetzt gibt es aber noch folgende kombinationen mit bsw. a
a*c
c*a
a*d
d*a
all diese Verknüpfungen dürfen nicht c oder d als Lösung haben wäre z.B a*c=d ergibt sich da b*a=d dann ja c=b also ein Widerspruch oder
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mousegg |
es gibt also keine Lösungen für die ganzen Verknüpfungen mit a ohne einen Widerspruch wie oben oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hallo,
> ok ich versuch es nochmal man hat also eine gruppe
> g{e,a,b,c,d}
>
> wenn also bspw. a*b=c ( a bzw.b fallen raus )
> so könnte b*a wenn g nicht kommutativ ist ja zB b*a=d
> sein
>
> jetzt gibt es aber noch folgende kombinationen mit bsw. a
>
> a*c
> c*a
> a*d
> d*a
wie ists mit ac=ca=e und ad=da=b
und nur ab=c und ba=d
ich seh also noch nicht!
(weil die Aussage ja wahr ist, ist es schwer, immer die Fehler zu zeigen, bzw, was noch fehlt, weil man ja sicher am Ende auf einen Wdsp. kommen muss. Nur muss der auch klar gezeigt werden.)
Gruss leduart
> all diese Verknüpfungen dürfen nicht c oder d als Lösung
> haben wäre z.B a*c=d ergibt sich da b*a=d dann ja c=b also
> ein Widerspruch oder
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:31 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mousegg |
Oje ich hatte schon etwas in der art befürchtet
ich hab vergessen dass nicht kommutativität nicht heißt,dass alle elemente nicht kommutativ sein dürfen also, dass es auch eine kommutative Verknüpfung geben kann solange nicht alle kommutativ sind.
Fällt dir denn vielleicht eine andere möglichkeit ein wie man den Widerspruch zeigen könnte hab einfach keine idee wie es gehen könnte?:(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 25.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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