Körper und Rest < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Neco1982 |
Hallo,
folgende Aufgabe soll ich lösen:
Es sei n eine positive ganze Zahl, die keine Primzahl ist.
Für eine natürliche Zahl m bezeichne r(m) den Rest von m bei der Division durch n,
d.h. r(m) ist die eindeutig bestimmte natürliche Zahl zwischen 0 und n-1,
für die [mm] \bruch{m-r(m)}{n} \in \IN [/mm] gilt.
Für a, b [mm] \in R_{n}:= [/mm] {0,1,...,n-1} setze:
a [mm] \oplus [/mm] b:= r(a+b)
a [mm] \odot [/mm] b: = r (ab)
Zeige, dass [mm] (R_{n}, \oplus, \odot) [/mm] kein Körper ist.
Was ist mit dieser Aufgabe genau gemeint? Muss ich für die Restklassen einfach die Axiome eines Körpers beweisen und wenn ja, wie? Wofür steht diese "Bruch-Formel"? Mir fehlt völlig der Ansatz...
In der Hoffnung auf Hilfe, liebe Grüße
Neco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das ist so zu verstehen (Modulo-Rechnung, Rechnung mit Kongruenzklassen):
Du addierst $a$ und $b$ ganz normal (in [mm] $\IZ$) [/mm] und bekommst ein Ergebnis raus. Dieses Ergebnis teilst du durch $n$ mit Rest (wie in der Grundschule). Und der Rest ist dann das Ergebnis.
Bei der Multiplikation geht es genauso.
Warum ist dies nun kein Körper, wenn $n$ keine Primzahl ist.
Körper sind nullteilerfrei, d.h. für $a [mm] \cdot [/mm] b=0$ muss entweder $a=0$ oder $b=0$ gelten. Die $0$ hier entspricht allen Zahlen, die durch $n$ teilbar sind (wo also der Rest gleich $0$ ist).
Und jetzt überlege mal: Wenn $n$ keine Primzahl ist, dann gibt es $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $n=a [mm] \cdot [/mm] b$, wobei weder $a$ noch $b$ durch $n$ teilbar sind, also nicht dem Nullelement in der gegebenen Struktur entsprechen.
Aber trotzdem gilt: $a [mm] \cdot [/mm] b = n =0$, denn $n$ lässt bei der Division durch $n$ natürlich den Rest $0$. Daher kann dies kein Körper sein.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hi Stefan,
ich hatte das gleiche Problem wie Neco. Habe den Körper [mm] R_n [/mm] mit den Körperaxiomen überprüft. Alles hat aber funktioniert: 1. ist abelsche Gruppe bzg. der Addition sowie abelsche Gruppe bzgl der Multiplikation, auch das Distributivgesetz funktioniert. Ist es nicht seltsam, dass die ganzen Axiome gelten, wenn das kein Körper ist? Hat das, was du gerechnet hast etwas mit char zu tun? Wenn ja, was genau?
Liebe Grüße und Danke für eine Antwort im Voraus!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Sa 05.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> funktioniert: 1. ist abelsche Gruppe bzg. der Addition
> sowie abelsche Gruppe bzgl der Multiplikation,
Und eben genau das gilt nicht - das einzige, was diesen Objekten fehlt, um ein Körper zu sein, ist ein multiplikatives Inverses. Wie genau hast du denn das berechnet?
In [m]\IZ_6[/m] hat zB 3 und 2 kein multiplikatives Inverses.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Secki,
vielleicht habe ich ja grundsätzlich was bei der Rechnung mit Rest nicht verstanden. Ich komme immer noch darauf, dass es ein inverses gibt :(... hier sind meine Rechnungen (vielleicht kannst du mir ja helfen, die Fehler zufinden (gehe mal davon aus, dass es mehrere sind):
Zu beweisen K1: [mm] (R_n \oplus) [/mm] ist abelsche Gruppe:
(g1) Assoziativ:
seien a, b, c [mm] \in R_n
[/mm]
[mm] (a\oplus [/mm] b) [mm] \oplus [/mm] c = r[r(a+b)+c]= r (a+b) +c (mod n)
= (a+b) + c (mod n)
= a + (b+c) (mod n)
= r[a + r(b+c)] (mod n)
[mm] \Rightarrow [/mm] (a [mm] \oplus [/mm] b) [mm] \oplus [/mm] c= a [mm] \oplus [/mm] (b [mm] \oplus [/mm] c) Ok.
(g2) Das neutrale Element bzgl. der Addition ist 0
a [mm] \oplus [/mm] 0 = r(a +o) = a OK.
(g3) Das inverse Element bzgl der Addition a [mm] \not= [/mm] 0 ist -a
a [mm] \oplus [/mm] (-a)= r (a + (-a)) = r (0) = 0 OK.
(g4) a [mm] \oplus [/mm] b = b [mm] \oplus [/mm] a
a [mm] \oplus [/mm] b = r (a+b) = r (b+a)
a+b = b+a
a+b = a+b (A2 angewandt) OK.
K2: (K [mm] \setminus [/mm] {0}, [mm] \odot) [/mm] ist abelsche Gruppe
g1: Assoziativ
(a [mm] \odot [/mm] b) [mm] \odot [/mm] c= r [r(ab) c] mod n
= r (ab) c mod n
= (ab) c mod n
= a (bc) mod n
=r (a r(bc)) mod n
= a [mm] \odot [/mm] (b [mm] \odot [/mm] c)
[mm] \Rightarrow [/mm] (a [mm] \odot [/mm] b) [mm] \odot [/mm] c = a [mm] \odot [/mm] (b [mm] \odot [/mm] c) OK
g2: Das neutrale Element bzgl der Multi ist 1
a [mm] \odot [/mm] 1 = r (a1) = a OK
Jetzt wird`s spannend: DAS INVERSE Element:
a [mm] \odot [/mm] a^(-1) = 1
r (a a^-1) = a a^-1 = 1
Hier höre ich jetzt mal auf... wir haben in der Vorlesung definiert r(a) = a, dann müsste das beim Inversen doch auch anzuwenden sein.
VIEEEEELEN Dank!!!!!!!!!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Sa 05.11.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Bitte benutze in zUkunft den Formeleditor ganz - das ist ja kaum lesbar.
> Jetzt wird's spannend: DAS INVERSE Element:
> a [mm]\odot[/mm] a^(-1) = 1
> r (a a^-1) = a a^-1 = 1
Und was soll denn [m]a^{-1}[/m] sein? Diese Zahl gibt es in [m]\IZ[/m] nicht (immer).
> Hier höre ich jetzt mal auf...
Eigentlich hast du da noch gar nicht angefangen - du psotulierst ein [m]a^{-1}[/m], ohne zu sagen, was es sein soll.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Secki,
ich verstehe, dass es bei den Zahlen [mm] \in \IZ [/mm] bzw. [mm] \in \IN [/mm] bzgl der Multiplikation kein inverses Element gibt.
Wieso ist denn trotz des fehlenden Inversen [mm] R_{p}: [/mm] {0, 1, ..., p-1} (Primzahlen) ein Körper (da müsste es dann ja, auch kein Inverses geben) [mm] R_{n} [/mm] aber nicht?
Irgend etwas muss man bestimmt noch mit Primzahlen rechnen... vielleicht mit char?
Liebe Grüße und Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Sa 05.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> ich verstehe, dass es bei den Zahlen [mm]\in \IZ[/mm] bzw. [mm]\in \IN[/mm]
> bzgl der Multiplikation kein inverses Element gibt.
Gut - natürlich haben 1 bzw. -1 Inverse, aber eben nicht ejdes von 0 verschiedene.
> Wieso ist denn trotz des fehlenden Inversen [mm]R_{p}:[/mm] {0, 1,
> ..., p-1} (Primzahlen) ein Körper (da müsste es dann ja,
> auch kein Inverses geben) [mm]R_{n}[/mm] aber nicht?
Nein, die Folgerung ist falsch. Du hast ja auch die Restklassenmultiplikation. ZB ist in [m]\IZ_5[/m] das Inverse von 3 die 2 - da [m]2*3=6[/m], also modulo 5 1 ist. Du musst also zu jeder Restklasse eine (andere) Restklasse finden, die miteinandermultipliziert die Restklasse der 1 ist.
> Irgend etwas muss man bestimmt noch mit Primzahlen
> rechnen... vielleicht mit char?
Die Charaketristik eines Körpers würde ich erstmal hintenan stellen - die inetrssiert hier quasi nicht.
SEcki
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:57 So 06.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo,
wie kann man denn allgemein beweisen, dass es beim Rechnen mit Restklassen bei [mm] R_{n} [/mm] kein Inverses bzgl. der Multipilkation gibt?
Bei [mm] R_{p} [/mm] (Primzahlen) jedoch ein Inverses existiert?
Habe einige Beispiele durchprobiert: Für [mm] R_{6} [/mm] gibt es bspw. kein Inverses; wählt man i= 3, so erhält man keine weitere Restklasse j, bei der durch die Multiplikation mit i der Rest 1 herauskommt:
3 [mm] \odot [/mm] __ = 1.
Bei [mm] R_{p} [/mm] (bsp. 7) erhält man jedoch für jedes i aus [mm] R_{p} [/mm] ein Inverses, außer für 0 und 1.
Hoffe, es kann mir jemand helfen, einen allgemeinen Beweis zu finden, warum [mm] R_{n} [/mm] kein Inverses der Multiplikation hat.
Vielen lieben Dank schon einmal im Voraus!!!
Beste Grüße
Nescio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Di 08.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nescio!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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