Körper und Verknüpfungstafel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Cannae |
| Aufgabe | In einem Körper (K;+; *) mit den Elementen a; b; c; d sei a das Null-
element und b das Einselement sowie x + x = a für alle x [mm] \in [/mm] K.
(a) Bestimmen Sie die VerknÄupfungstafel der Addition und der Mul-
tiplikation in (K;+; *). |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht. Ein Körper muss abelsch sein richtig?
Wenn ich die Tafeln soweit ausfülle, komme ich nicht mehr weiter:
+a| b |c |d
a|a b c d
b|b a
c| c a
d|d a
*a| b |c |d
a|a b c d
b|b a
c| c a
d|d a
Bin für jede Hilfe dankbar.
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Hallo Stefan,
Schreiben wir mal direkt für a=0, b=1
Dann ist für "+"
$ [mm] \begin{array}{|r|llll|} \hline + & 0 & 1 & c & d \\ \hline 0 & 0 & 1 & c & d \\ 1 & 1 & 0 & & \\ c & c &\red{\star} & 0 & \\ d & d & & & 0 \\ \hline \end{array} [/mm] $
Soweit hattest du es aus den gegebenen Bedingungen richtig, was ja auch nicht allzu schwer 
Nun bedenke, dass in jeder Zeile und jeder Spalte der Verknüpfungstafel jedes Element genau einmal vorkommen muss.
Schauen wir und den roten Eintrag [mm] $\red{\star}$ [/mm] an, was kann $c+1$ ergeben?
Möglich wären 1 oder d
Was passiert, wenn $c+1=1$ ist?
Wie war das mit der Eindeutigkeit des neutralen Elementes? ...
Dann wäre $c=0$, das geht nicht, weil das Nullelement bereits mit $a$ vergeben ist
Bleibt $c+1=d$
Der Rest ist einfach ...
Schauen wir auf die Multiplikation, es muss ja [mm] $K\setminus\{a\}$, [/mm] also [mm] $K\setminus\{0\}$ [/mm] eine Gruppe sein.
Die 1 ist neutral bzgl. [mm] \bullet [/mm]
Das können wir so eintragen
$ [mm] \begin{array}{|r|llll|} \hline \bullet & \red{0} & 1 & c & d \\ \hline \red{0} & \red{0} & \red{0} & \red{0} & \red{0} \\ 1 & \red{0} & 1 & c & d \\ c & \red{0} & c & \blue{\star} & \\ d & \red{0} & d & & \\ \hline \end{array} [/mm] $
Nun lasse mal die erste Zeile und Spalte außen vor, also die mit den ganzen Nullen.
Wie in jeder Gruppentafel (wie auch oben für "+"), muss auch in der Tafel für [mm] "\bullet" [/mm] in jeder Zeile und jeder Spalte jeder Eintrag (außer 0) genau einmal vorkommen.
Wie betrachten also das kleine [mm] $3\times [/mm] 3$-Quadrat.
Es ist ja schon fast gefüllt.
Selbe Überlegung wie oben, zB. für den blauen Eintrag [mm] \blue{\star}
[/mm]
Was kann [mm] $c\bullet [/mm] c$ sein?
Möglich wären 1 oder d.
Das untersuche mal, was wäre, wenn das 1 wäre ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Cannae |
Vielen Dank erstmal. Ich glaube ich habe mich in der Unterscheidung Gruppe, Ringe, Körper etwas vertan. Bei allen drei ist auf jeden Fall die Regel jedes Element außer neutrales Element nur einmal pro Zeile und Spalte?
In der additiven Tafel darf das neutrale Element auch nur einmal pro Zeiule und Spalte vorkommen oder? Außnahe die multiplikative Tafel.
Dann wäre es in Deiner Tafel für den blauen Stern = d. 1 kann es nicht sein, da das d dann in die nächste Zeile müsste und dadurch verletzen wir die Regel ja...
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> Vielen Dank erstmal. Ich glaube ich habe mich in der
> Unterscheidung Gruppe, Ringe, Körper etwas vertan. Bei
> allen drei ist auf jeden Fall die Regel jedes Element außer
> neutrales Element nur einmal pro Zeile und Spalte?
Hallo,
in Gruppen darf jedes Element in jeder Zeile und Spalte nur einmal vorkommen. Und es muß in jeder Zeile und Spalte einmal vorkommen.)
Schau Dir nun einmal an, was Körper und Ringe eigentlich sind.
Der Körper "besteht" aus zwei Gruppen, in denen das Gesagte natürlich gilt.
Und Ringe?
> In der additiven Tafel darf das neutrale Element auch nur
> einmal pro Zeiule und Spalte vorkommen oder?
Ja.
>Außnahe die
> multiplikative Tafel.
Für "Körper" muß die Menge, aus der das Nullelement herausgenommen wurde, eine Gruppe mit der Multiplikation sein, insofern ist dies keine Ausnahme.
In der Multiplikationstafel für die komplette Menge hast Du dann jedoch den Rand aus Nullelementen. Wahrscheinlich meinst Du das.
> Dann wäre es in Deiner Tafel für den blauen Stern = d.
Genau.
Gruß v. Angela
1
> kann es nicht sein, da das d dann in die nächste Zeile
> müsste und dadurch verletzen wir die Regel ja...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Sa 28.03.2009 | | Autor: | Cannae |
Das bedeutet doch wenn mir ein Ring R(M,+,*) gegeben wird, kann ich davon ausgehen das die additive Tafel abelsch ist und 0 als Nullelemnt besitzt. Die multiplikative Tafel assoziativ ist und das Distributivgesetz gilt.
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> Das bedeutet doch wenn mir ein Ring R(M,+,*) gegeben wird,
> kann ich davon ausgehen das die additive Tafel abelsch ist
> und 0 als Nullelemnt besitzt. Die multiplikative Tafel
> assoziativ ist und das Distributivgesetz gilt.
Hallo,
genau.
In einem Ring R muß die Multiplikation auf R \ [mm] \{0\} [/mm] also keine Gruppe sein. Es muß hier ja für die Multiplikation noch nicht einmal ein neutraleles Element geben.
Gruß v. Angela
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