Körperaxiome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei ( K , [mm] \pm, [/mm] .) ein Körper und a,b,c element aus K mit a ungleich b .
zeigen sie , dass x,y element aus K existieren mit c= xa [mm] \pm [/mm] yb und x [mm] \pm [/mm] y = 1
sind x und y eindeutig bestimmt ?? |
hiii
bin im ersten semester...
habe ein paar einstiegsprobleme in bezug auf die analysis...
würde mich über einige hinweise in bezug auf die aufgabe freuen...
weiß leider nichts mit anzufangen
kenne die körperaxiome..
also ich weiß jaa ,dass x,y eindeutig ein element a plus b ist..
und für c = xa plus yb könnte man ja mit dem assoziativgesetz weitertkommen ????...
:(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 So 04.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
Hi,
also ich hab die aufgabe bisher so gemacht, dass ich einfach nach die werte für x und y ausgerechnet habe und wegen der abgeschlossenheit liegen diese wiederum in K, was ja zu zeigen war.
Mit der eindeutigkeit habe ich mich auch schon etwas beschäftigt aber komme da nicht richtig weiter. Man soll ja zeigen, dass [mm]\tilde x , \tilde y[/mm] existieren mit [mm]x=\tilde x[/mm] und [mm] y=\tilde y[/mm] oder irre ich mich da?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Frage nach der Eindeutigkeit fragt: gibt es nur ein Paar x,y die die Gleichung (für festes a,b,c) erfüllen.
oder Annahme es gibt ein x1,y1 und ein x2,y2 die die Gleichung lösen.Nur wenn dann gilt x1=x2 ud y1=y2 ist die Lösung eindeutig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 So 04.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
Ich habs mal über einen Widerspruchsbeweis probiert:
(1) Sei x=1 und y=0, dann gilt für c=a*x+b*y:
c=a*1+b*0
c=a
(2) Sei x=0 und y=1, dann gilt für c=a*x+b*y:
c=a*0+b*1
c=b
Aus (1) und (2) [mm] \Rightarrow [/mm] a=b und das steht im Widerspruch zur Voraussetzung, also sind x und y nicht eindeutig bestimmt.
Kann man das so machen?
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> Ich habs mal über einen Widerspruchsbeweis probiert:
> (1) Sei x=1 und y=0, dann gilt für c=a*x+b*y:
> c=a*1+b*0
> c=a
>
> (2) Sei x=0 und y=1, dann gilt für c=a*x+b*y:
> c=a*0+b*1
> c=b
>
> Aus (1) und (2) [mm]\Rightarrow[/mm] a=b und das steht im
> Widerspruch zur Voraussetzung, also sind x und y nicht
> eindeutig bestimmt.
>
> Kann man das so machen?
Hallo,
nein, denn Dein "Beweis" trifft's Thema nicht so recht.
Man will ja wissen, ob es zwei verschiedene Lösungen für das Gleichungsystem x+y=1 und ax+by=c geben kann.
Dein "Gegenbeipiel" jedoch hat den Fehler, daß es das GS nicht löst. Es kommt doch rechts gar nicht c heraus!
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du löst die Gleichung wie gewohnt, allerdings darfst du nicht auf beiden Seiten was abziehen, sondern musst mit dem additiven Inversen addieren, statt zu dividieren wie gewohnt musst du mit dem multiplikativen Inversen multipl.
also ich nenne das additive Inverse jeweils [mm] a_p [/mm] also [mm] a+a_p=0
[/mm]
das multiplikative [mm] a_m [/mm] (du verwendest lieber was ihr in der Vorlesung verwendet habt.
Beispiel x+y=1 [mm] ==>x+y+y_p=1+y_p x+0=1+y_p x=1+y_p
[/mm]
einsetzen in ax+by=c, Distributivgesetz verwenden, dann [mm] a_p [/mm] addieren usw.
irgendwo musst du noch benutzen dass [mm] a*y_p=a_p*y [/mm] ist! (entspricht a*(-y)=(-a)*y
dazu habt ihr vielleicht gezeigt dass [mm] 1_p*a=a_p 1_p [/mm] entspricht -1 sonst musst du das noch zeigen.
Gruss leduart
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