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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mi 07.11.2012 | | Autor: | iced |
| Aufgabe | Es sei n eine natürliche Zahl. Arithmetik modulo n auf der Menge [mm] \IF_{n} [/mm] = {0, ... , n-1} wird wie folgt definiert: Addiere oder multipliziere wie gewohnt, dann subtrahiere das größtmögliche Vielfache von n, so dass das Ergebnis in [mm] \IF_{n} [/mm] liegt.
(a) Zeigen Sie, dass [mm] \IF_{3} [/mm] ein Körper unter Arithmetik modulo 3 ist, und dass [mm] \IF_{3} [/mm] sich nicht zu einem geordneten Körper machen läßt. |
Hallo zusammen!
Die obige Aufgabe habe ich bereits teilweise gelöst und bräuchte noch klein wenig Hilfe bei dem Rest. Gelöst habe ich bereits:
Um zu zeigen, dass [mm] \IF_{3} [/mm] ein Körper modulo 3 ist, müssen die Axiome (A1)-(A9) gelten. Diese sind:
(A1) Assoziativgesetz der Addition
(A2) Kommutativgesetz der Addition (gezeigt)
(A3) Existenz der additiven Identität (gezeigt)
(A4) Existenz additiver Inverser (gezeigt)
(A5) Assoziativgesetz der Multiplikation
(A6) Kommutativgesetz der Multiplikation (gezeigt)
(A7) Existenz der multiplikativen Identität (gezeigt)
(A8) Existenz multiplikativer Inverser (gezeigt)
(A9) Distributivgesetz
Es müssen also noch die Axiome (A1), (A5) und (A9) gezeigt werden. Dass [mm] \IF_{3} [/mm] sich nicht zu einem geordneten Körper machen lässt ist auch bereits bewiesen, da die Monotoniegesetze verletzt werden.
Könnt ihr mir helfen auch noch die letzten 3 Axiome zu beweisen?
Viele Grüße
Pascal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Pascal,
> Es sei n eine natürliche Zahl. Arithmetik modulo n auf der
> Menge [mm]\IF_{n}[/mm] = {0, ... , n-1} wird wie folgt definiert:
> Addiere oder multipliziere wie gewohnt, dann subtrahiere
> das größtmögliche Vielfache von n, so dass das Ergebnis
> in [mm]\IF_{n}[/mm] liegt.
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]\IF_{3}[/mm] ein Körper unter Arithmetik
> modulo 3 ist, und dass [mm]\IF_{3}[/mm] sich nicht zu einem
> geordneten Körper machen läßt.
> Hallo zusammen!
>
> Die obige Aufgabe habe ich bereits teilweise gelöst und
> bräuchte noch klein wenig Hilfe bei dem Rest. Gelöst habe
> ich bereits:
>
> Um zu zeigen, dass [mm]\IF_{3}[/mm] ein Körper modulo 3 ist,
> müssen die Axiome (A1)-(A9) gelten. Diese sind:
>
> (A1) Assoziativgesetz der Addition
> (A2) Kommutativgesetz der Addition (gezeigt)
> (A3) Existenz der additiven Identität (gezeigt)
> (A4) Existenz additiver Inverser (gezeigt)
> (A5) Assoziativgesetz der Multiplikation
> (A6) Kommutativgesetz der Multiplikation (gezeigt)
> (A7) Existenz der multiplikativen Identität (gezeigt)
> (A8) Existenz multiplikativer Inverser (gezeigt)
> (A9) Distributivgesetz
>
> Es müssen also noch die Axiome (A1), (A5) und (A9) gezeigt
> werden. Dass [mm]\IF_{3}[/mm] sich nicht zu einem geordneten Körper
> machen lässt ist auch bereits bewiesen, da die
> Monotoniegesetze verletzt werden.
>
> Könnt ihr mir helfen auch noch die letzten 3 Axiome zu
> beweisen?
Das bekommst du selber hin.
Rechne es einfach für alle Tripel von Elementen aus [mm] $F_3$ [/mm] explizit nach (oder vor). Soviele Kombinationsmöglichkeiten gibt es ja nicht und wegen der Kommutativität von Addition und Multiplikation sparst du auch was ein ...
Einfach systematisch die Fälle durchgehen ...
>
> Viele Grüße
> Pascal
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Do 08.11.2012 | | Autor: | iced |
Hallo schachuzipus,
danke schonmal für deine Antwort. Das man das durchkombinieren kann ist mir klar, aber das sind immerhin 27 Möglichkeiten. Meine Frage war eher, ob man das nicht allgemeiner zeigen kann?
Viele Grüße
Pascal
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Ich zitiere:
> Soviele Kombinationsmöglichkeiten gibt es ja nicht und wegen der
> Kommutativität von Addition und Multiplikation sparst du auch was ein
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