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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Körperbeweis mit Matrix
Körperbeweis mit Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Körperbeweis mit Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:14 Di 01.03.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Sei K ein Körper, sei d in N und seien [mm] $c_{0},c_{1},....,c_{d}$ [/mm] in K nicht alle 0. Zeige, dass [mm] $\#\{\lambda \in K; c_{0}+c_{1}\lambda +... +c_{d}\lambda^{d}=0\} \le [/mm] d$

Hallo,

Das Polynom erhalten würde ich ja so:


[mm] $\vektor{1& \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & ... & \lambda_{1}^{d} \\ 1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & ... & \lambda_{2}^{d} \\ 1 & .. & ... &.. \\ 1 & \lambda_{d+1} & \lambda_{d+1}^{2} & ... & \lambda_{d+1}^{d}} \vektor{c_{0}\\ c_{1} \\ ... \\ c_{d}} [/mm]


Kann ich damit was anfangen???



Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


Danke und Gruss


kushkush


        
Bezug
Körperbeweis mit Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Di 01.03.2011
Autor: angela.h.b.


> Sei K ein Körper, sei d in N und seien
> [mm]c_{0},c_{1},....,c_{d}[/mm] in K nicht alle 0. Zeige, dass
> [mm]\#\{\lambda \in K; c_{0}+c_{1}\lambda +... +c_{d}\lambda^{d}=0\} \le d[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> Das Polynom erhalten würde ich ja so:
>
>
> [mm]$\vektor{1& \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & ... & \lambda_{1}^{d} \\ 1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & ... & \lambda_{2}^{d} \\ 1 & .. & ... &.. \\ 1 & \lambda_{d+1} & \lambda_{d+1}^{2} & ... & \lambda_{d+1}^{d}} \vektor{c_{0}\\ c_{1} \\ ... \\ c_{d}}[/mm]

Hallo,

so erhältst Du kein Polynom.
Oder siehst Du ein Polynom, wenn Du das ausmultiplizierst?

Du sollst zeigen, daß das Polynom [mm] p(t)=c_0+c_1t+c_2t^2+...+c_dt^d [/mm] höchstens d verschiedene Nullstellen hat, sofern nicht alle [mm] c_i=0 [/mm] sind.

Nun kommen wir auf Dein Produkt zurück:

es ist

> [mm] $$\vektor{1& \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & ... & \lambda_{1}^{d} \\ 1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & ... & \lambda_{2}^{d} \\ 1 & .. & ... &.. \\ 1 & \lambda_{d+1} & \lambda_{d+1}^{2} & ... & \lambda_{d+1}^{d}} \vektor{c_{0}\\ c_{1} \\ ... \\ c_{d}}$ [/mm]

[mm] =\vektor{p(\lambda_1)\\p(\lambda_2)\\...\\p(\lambda_{d+1})}. [/mm]


>
>
> Kann ich damit was anfangen???

Ich denke ja.
Du hättest allerdings auch mal schildern sollen, anhand welcher Überlegungen Du zu dem Produkt  gekommen bist.

Sei mindestens eins der [mm] c_i [/mm] von 0 verschieden.
Angenommen p(t) hätte d+1 verschiedene Nullstellen [mm] \lambda_1,...,\lambda_{d+1}. [/mm]

Dann ist [mm] p(\lambda_i)=0 [/mm] für alle i=1,...,d+1,

also

> [mm] $$\vektor{1& \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & ... & \lambda_{1}^{d} \\ 1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & ... & \lambda_{2}^{d} \\ 1 & .. & ... &.. \\ 1 & \lambda_{d+1} & \lambda_{d+1}^{2} & ... & \lambda_{d+1}^{d}} \vektor{c_{0}\\ c_{1} \\ ... \\ c_{d}}$ [/mm]

[mm] =\vektor{0\\\vdots\\0}. [/mm]

Nennen wir die Matrix A, so können wir festhalten:

das Gleichungssystem Ax=0 hat eine von x=0 verschiedene Lösung.
Also ist die detA=0.

Was ist die Determinante Deiner Matrix? (Das war wahrscheinlich in VL oder Übung dran)
Was bedeutet das für die [mm] \lambda_i? [/mm]

Entdecke einen Widerspruch.

Gruß v. Angela






>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
>  
>
> kushkush
>  


Bezug
                
Bezug
Körperbeweis mit Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Di 01.03.2011
Autor: kushkush

Hallo angela,

<< Was ist die Determinante Deiner Matrix?

[mm] $\produkt_{1\le i < j \le d+1}(\lambda_{j}-\lambda_{i} ) [/mm]



<< Entdecke einen Widerspruch.

Die determinante ist nicht 0... ?

< Gruß v. Angela


Danke


Gruss

kushkush


Bezug
                        
Bezug
Körperbeweis mit Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:53 Mi 02.03.2011
Autor: angela.h.b.


> Hallo angela,
>  
> << Was ist die Determinante Deiner Matrix?
>  
> [mm]$\produkt_{1\le i < j \le d+1}(\lambda_{j}-\lambda_{i} )[/mm]
>
>

Hallo,

ja, genau.

>
> << Entdecke einen Widerspruch.
>
> Die determinante ist nicht 0... ?

Wieso nicht?

Gruß v. Angela



Bezug
                                
Bezug
Körperbeweis mit Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 Mi 02.03.2011
Autor: kushkush

< Wieso nicht?

Weil gilt:

M ist die Vandemornde Matrix:

$M [mm] \vektor{\lambda_{0}\\ \lambda_{1} \\ .\\ . \\ \lambda_{d+1}} [/mm] = [mm] \sum_{j}^{d+1}\vektor{\lambda_{j} p_{j}(\lambda_{0})\\ .\\ . \\ \lambda_{j}p_{j}(\lambda_{d+1})}= \vektor{0 \\ .\\ . \\ . \\ 0}$ [/mm]

Die [mm] $\lambda_{j}$ [/mm] sind verschieden und somit kann die determinante nicht 0 sein. ??


< Gruß v. Angela

Danke


Gruss

kushkush

Bezug
                                        
Bezug
Körperbeweis mit Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:30 Do 03.03.2011
Autor: angela.h.b.


> < Wieso nicht?
>  
> Weil gilt:
>  
> M ist die Vandemornde Matrix:
>
> [mm]M \vektor{\lambda_{0}\\ \lambda_{1} \\ .\\ . \\ \lambda_{d+1}} = \sum_{j}^{d+1}\vektor{\lambda_{j} p_{j}(\lambda_{0})\\ .\\ . \\ \lambda_{j}p_{j}(\lambda_{d+1})}= \vektor{0 \\ .\\ . \\ . \\ 0}[/mm]

Hallo,

das verstehe ich gerade nicht,

>  
> Die [mm]\lambda_{j}[/mm] sind verschieden und somit kann die
> determinante nicht 0 sein. ??

aber das hier ist die richtige Antwort auf meine zuvor gestellte Frage.

Gruß v. Angela



Bezug
                                                
Bezug
Körperbeweis mit Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:09 Do 03.03.2011
Autor: kushkush

Hallo angela,


< aber das hier ist die richtige Antwort auf meine zuvor gestellte Frage.


Danke!!!!!



Gruss

kushkush

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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