Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Sa 02.12.2006 | | Autor: | shark4 |
| Aufgabe | | Sei [mm]L / K[/mm] eine Körpererweiterung mit [mm]p = [L : K][/mm] eine Primzahl. Zeigen Sie, dass es [mm]a \in L[/mm] gibt mit [mm]L = K(a)[/mm]. |
Ich weiß, dass beim Körpererweiterungsgrad [mm]p[/mm] das Minimalpolynom folgende Gestalt hat: [mm]X^p + c_{p - 1}X^{p - 1} + \ldots + c_1X + c_0[/mm] (hab mal [mm]c[/mm] anstatt [mm]a[/mm] gewählt damit ich mit der Bezeichnung nicht durcheinander komme). Da es [mm]a \in L[/mm] geben soll mit [mm]L = K(a)[/mm], müsste das Minimalpolynom doch so aussehen: [mm]X^p - b[/mm] und somit ist [mm]a = \sqrt[p]{b}[/mm]. Ist das so einfach, oder hab ich es mir etwas zu leicht gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Sa 02.12.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo shark4!
> Sei [mm]L / K[/mm] eine Körpererweiterung mit [mm]p = [L : K][/mm] eine
> Primzahl. Zeigen Sie, dass es [mm]a \in L[/mm] gibt mit [mm]L = K(a)[/mm].
>
> Ich weiß, dass beim Körpererweiterungsgrad [mm]p[/mm] das
> Minimalpolynom folgende Gestalt hat: [mm]X^p + c_{p - 1}X^{p - 1} + \ldots + c_1X + c_0[/mm]
> (hab mal [mm]c[/mm] anstatt [mm]a[/mm] gewählt damit ich mit der Bezeichnung
> nicht durcheinander komme). Da es [mm]a \in L[/mm] geben soll mit [mm]L = K(a)[/mm],
> müsste das Minimalpolynom doch so aussehen: [mm]X^p - b[/mm] und
> somit ist [mm]a = \sqrt[p]{b}[/mm]. Ist das so einfach, oder hab ich
> es mir etwas zu leicht gemacht?
Ja, das ist zu einfach. Das Minimalpolynom kann sehr wohl die allgemeine Form oben haben. Es gibt keinen Grund warum es von der Form [mm] $x^p [/mm] - b$ sein sollte. Und selbst wenn: du hast immer noch nicht gezeigt, dass es ueberhaupt ein solches $a$ gibt.
Fuer die Aufgabe brauchst du den Gradsatz, also wenn $K [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] L$ ein Koerperturm ist, dann ist $[L : K] = [L : M] [mm] \cdot [/mm] [M : K]$.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:26 Sa 02.12.2006 | | Autor: | shark4 |
Sei $L / K$ eine Körpererweiterung, $a [mm] \in [/mm] L$, dann ist $K(a) [mm] \subset [/mm] L$ der kleinste Körper, der $K$ und $a$ enthält.
Also müsste ich jetzt annehmen es gibt kein $a [mm] \in [/mm] L$ mit $K(a) [mm] \supseteq [/mm] L$, folglich müsste ein Zwischenkörper $M$ existieren, für den gilt $K [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] L$. Laut Gradsatz gilt aber $[L : K] = [L : M] [mm] \cdot [/mm] [M : K] = m [mm] \cdot [/mm] n$.
Widerspruch zur Annahme, dass $p = [L : K]$ eine Primzahl ist.
Stimmt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 05.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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