Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Di 13.07.2010 | | Autor: | kalor |
Abend Zusammen,
Hätte da eine Frage zu Körpererweiterungen. Ich weiss ja, dass der Grad einer Körpererweiteurng [mm] [K(a):K] [/mm] wobei $ a$ irgendein Element aus dem Körper $L$ ( $L:K$ ist eine Erweiterung) ist und algebraisch über K. Dann ist der Grad von [mm] [K(a):K] [/mm] gerade der Grad des Minimalpolynoms von $a$ in $ K$.
Nun gut, dieses Minimalpolynom ist ja bis auf ein Element in $ K*$ eindeutig bestimmt durch: Es ist das irreduzible normiertes Polynom kleinsten Grades.
Was mich nun interessieren würde ist, wenn ich ein irreduzibles Polynom in $ K[X] $ nehme und mir den Körper $M:=K[X]/(f) $ anschaue, wieso weiss ich dann, dass $ [L:K] = grad(f) $ ist? Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:25 Mi 14.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Abend Zusammen,
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> Hätte da eine Frage zu Körpererweiterungen. Ich weiss ja,
> dass der Grad einer Körpererweiteurng [mm][K(a):K][/mm] wobei [mm]a[/mm]
> irgendein Element aus dem Körper [mm]L[/mm] ( [mm]L:K[/mm] ist eine
> Erweiterung) ist und algebraisch über K. Dann ist der Grad
> von [mm][K(a):K][/mm] gerade der Grad des Minimalpolynoms von [mm]a[/mm] in
> [mm]K[/mm].
> Nun gut, dieses Minimalpolynom ist ja bis auf ein Element
> in [mm]K*[/mm] eindeutig bestimmt durch: Es ist das irreduzible
> normiertes Polynom kleinsten Grades.
> Was mich nun interessieren würde ist, wenn ich ein
> irreduzibles Polynom in [mm]K[X][/mm] nehme und mir den Körper
> [mm]M:=K[X]/(f)[/mm] anschaue, wieso weiss ich dann, dass [mm][L:K] = grad(f)[/mm]
> ist? Danke für eure Hilfe!
Einmal deswegen: betrachte die Restkasse von $X$ in $M$; nennen wir diese [mm] $\alpha$. [/mm] Dann ist $M = [mm] K[\alpha]$ [/mm] und [mm] $\alpha$ [/mm] ist Nullstelle von $f$. Deswegen ist $f$ das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] (falls es normiert ist) und deswegen ist $[M : K] = [mm] [K[\alpha] [/mm] : K] = [mm] \deg [/mm] f$.
Andererseits kann man das auch elementarer machen: ist $n = [mm] \deg [/mm] f$, so ist $1, [mm] \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{n-1}$ [/mm] eine Basis von $M$:
Division mit Rest liefert, dass sich jedes Element in $M$ eindeutig als $g + (f)$ darstellen laesst mit $g [mm] \in [/mm] K[X]$, [mm] $\deg [/mm] g < [mm] \deg [/mm] f$; daraus folgt:
* es ist [mm] $\dim_K [/mm] M = [mm] \dim_K \{ \text{Polynome mit Grad } < n \} [/mm] = n$;
* die Restklassen von [mm] $X^0, \dots, X^{n-1}$ [/mm] sind ein Erzeugendensystem.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Mi 14.07.2010 | | Autor: | kalor |
Aber eben, das funktioniert nur, weil f das Minimalpolynom ist. Ansonsten geht das ja nicht. Nur noch eine zwei kleinere Anschlussfragen:
> * es ist [mm]\dim_K M = \dim_K \{ \text{Polynome mit Grad } < n \} = n[/mm];
>
> * die Restklassen von [mm]X^0, \dots, X^{n-1}[/mm] sind ein
> Erzeugendensystem.
mit [mm] \dim_K \{ \text{Polynom mit Grad} < n \} [/mm] meinst du die Anzahl der Polynome mit Grad < $ n $?
Und die zweite Frage: [mm] M = K[\alpha] [/mm]. Wieso gilt diese Gleichung? [mm] K[\alpha] = K[X + (f)] [/mm] und dass soll wieder M sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mi 14.07.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Aber eben, das funktioniert nur, weil f das Minimalpolynom
> ist. Ansonsten geht das ja nicht. Nur noch eine zwei
> kleinere Anschlussfragen:
>
>
> > * es ist [mm]\dim_K M = \dim_K \{ \text{Polynome mit Grad } < n \} = n[/mm];
>
> >
> > * die Restklassen von [mm]X^0, \dots, X^{n-1}[/mm] sind ein
> > Erzeugendensystem.
>
> mit [mm]\dim_K \{ \text{Polynom mit Grad} < n \}[/mm] meinst du die
> Anzahl der Polynome mit Grad < [mm]n [/mm]?
Nicht die Anzahl, sondern die Dimension als K-Vektorraum; 1, X, ... , [mm] X^{n-1} [/mm] bilden eine Basis.
> Und die zweite Frage: [mm]M = K[\alpha] [/mm]. Wieso gilt diese
> Gleichung? [mm]K[\alpha] = K[X + (f)][/mm] und dass soll wieder M
> sein?
Streng genommen darf da nicht '=' stehen, richtig wäre zunächst 'isomorph'. Das Bild von X in K[X]/f(X) nenne ich [mm] \alpha, [/mm] es ist im Restklassenring (der sogar ein Körper ist) eine Nullstelle von f.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Mi 14.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Dieter!
> > Und die zweite Frage: [mm]M = K[\alpha] [/mm]. Wieso gilt diese
> > Gleichung? [mm]K[\alpha] = K[X + (f)][/mm] und dass soll wieder M
> > sein?
>
> Streng genommen darf da nicht '=' stehen, richtig wäre
> zunächst 'isomorph'. Das Bild von X in K[X]/f(X) nenne ich
> [mm]\alpha,[/mm] es ist im Restklassenring (der sogar ein Körper
> ist) eine Nullstelle von f.
Nun, wenn man (wie ueblich) $K$ mit einer Teilmenge von $K[X]/(f) = M$ identifiziert, dann ist sehr wohl [mm] $K[\alpha] [/mm] = K[X + (f)] = M$. Und wenn man unter [mm] $K[\alpha]$ [/mm] einfach die kleinste $K$-Unteralgebra von $M$ versteht, die [mm] $\alpha$ [/mm] umfasst (was Sinn macht, da $M$ auf natuerliche Art und Weise eine $K$-Algebra ist), muss man nichtmals etwas identifizieren (bzw. das Identifizieren wird durch's Auffassen als $K$-Algebra erledigt).
LG Felix
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