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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Susanna2 |
| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IC [/mm] eine Nullstelledes Polynom f(x)= [mm] x^3-3x [/mm] +1 [mm] \in \Q
[/mm]
Beweisen Sie:
a) f(x) / [mm] f(x^2-2)
[/mm]
b) Die Körpererweiterung [mm] \IQ(a)/ \IQ [/mm] ist galoisch
b) Die Galoisgruppe [mm] \IQ(a)/ \IQ [/mm] ist zyklisch von der Ordnung 3 |
Hallo zusammen
a und c sind kein Problem. Bei b kann ich seperabel auch zeigen. Aber wie zeige ich normal. Wollte zeigen dass [mm] \IQ(a) [/mm] Zerfällungskörper von f ist. Wie kann ich das zeigen ohne die Nullstellen explizit zu berechnen?
Viele Grüße Susanna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 27.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanna
> Sei a [mm]\in \IC[/mm] eine Nullstelledes Polynom f(x)= [mm]x^3-3x[/mm] +1
> [mm]\in \Q[/mm]
> Beweisen Sie:
> a) f(x) / [mm]f(x^2-2)[/mm]
> b) Die Körpererweiterung [mm]\IQ(a)/ \IQ[/mm] ist galoisch
> b) Die Galoisgruppe [mm]\IQ(a)/ \IQ[/mm] ist zyklisch von der
> Ordnung 3
>
> a und c sind kein Problem. Bei b kann ich seperabel auch
> zeigen. Aber wie zeige ich normal. Wollte zeigen dass
> [mm]\IQ(a)[/mm] Zerfällungskörper von f ist. Wie kann ich das zeigen
> ohne die Nullstellen explizit zu berechnen?
Dazu benutzt du a): Wenn du $g(x) := [mm] f(x^2 [/mm] - 2)$ definierst, dann hast du $g(a) = 0$ (weisst du warum?). Aber das bedeutet gerade, dass [mm] $a^2 [/mm] - 2$ eine Nullstelle von $f$ ist. Kann [mm] $a^2 [/mm] - 2 = a$ sein? (Warum nicht?) Damit hast du schonmal eine zweite Nullstelle von $f$, die in [mm] $\IQ(a)$ [/mm] liegt. Kann die dritte jetzt noch ausserhalb von [mm] $\IQ(a)$ [/mm] liegen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 27.01.2008 | | Autor: | Susanna2 |
> Hallo Susanna
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> > Sei a [mm]\in \IC[/mm] eine Nullstelledes Polynom f(x)= [mm]x^3-3x[/mm] +1
> > [mm]\in \Q[/mm]
> > Beweisen Sie:
> > a) f(x) / [mm]f(x^2-2)[/mm]
> > b) Die Körpererweiterung [mm]\IQ(a)/ \IQ[/mm] ist galoisch
> > b) Die Galoisgruppe [mm]\IQ(a)/ \IQ[/mm] ist zyklisch von der
> > Ordnung 3
> >
> > a und c sind kein Problem. Bei b kann ich seperabel auch
> > zeigen. Aber wie zeige ich normal. Wollte zeigen dass
> > [mm]\IQ(a)[/mm] Zerfällungskörper von f ist. Wie kann ich das zeigen
> > ohne die Nullstellen explizit zu berechnen?
>
> Dazu benutzt du a): Wenn du [mm]g(x) := f(x^2 - 2)[/mm] definierst,
> dann hast du [mm]g(a) = 0[/mm] (weisst du warum?).
ja klar, wenn f ein Teiler von g ist, ist g(a) natürlich auch gleich null. Da ja
g(a) = f(a)*h(a)= 0*h(a)=0
Aber das bedeutet
> gerade, dass [mm]a^2 - 2[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm] ist. Kann [mm]a^2 - 2 = a[/mm]
> sein? (Warum nicht?)
Da ja sonst gelten müsste : [mm] a^2-a-2 [/mm] =0, also a= 2 oder -1. Daraus folgt aber a [mm] \in \IQ, [/mm] was ein Wiederspruch zur Irreduzibilität von f ist.
Damit hast du schonmal eine zweite
> Nullstelle von [mm]f[/mm], die in [mm]\IQ(a)[/mm] liegt. Kann die dritte
> jetzt noch ausserhalb von [mm]\IQ(a)[/mm] liegen?
f(x)= [mm] (x-a)(x-(a^2-2)) [/mm] (x-b) in [mm] \IQ(a) [/mm]
Da f(x) in [mm] \IQ[x] [/mm] liegt muss dann auch b in [mm] \IQ(a) [/mm] liegen.
Stimmt das so?
> LG Felix
Danke
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:44 Mo 28.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanna
> > > a und c sind kein Problem. Bei b kann ich seperabel auch
> > > zeigen. Aber wie zeige ich normal. Wollte zeigen dass
> > > [mm]\IQ(a)[/mm] Zerfällungskörper von f ist. Wie kann ich das zeigen
> > > ohne die Nullstellen explizit zu berechnen?
> >
> > Dazu benutzt du a): Wenn du [mm]g(x) := f(x^2 - 2)[/mm] definierst,
> > dann hast du [mm]g(a) = 0[/mm] (weisst du warum?).
>
> ja klar, wenn f ein Teiler von g ist, ist g(a) natürlich
> auch gleich null. Da ja
> g(a) = f(a)*h(a)= 0*h(a)=0
Genau.
> Aber das bedeutet
> > gerade, dass [mm]a^2 - 2[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm] ist. Kann [mm]a^2 - 2 = a[/mm]
> > sein? (Warum nicht?)
>
> Da ja sonst gelten müsste : [mm]a^2-a-2[/mm] =0, also a= 2 oder -1.
Oder, noch einfacher, ohne explizit Rechnen zu muessen: das Minimalpolynom von $a$ haette Grad [mm] $\le [/mm] 2$, womit $f$ einen Linearfaktor in [mm] $\IQ$ [/mm] (und damit in [mm] $\IZ$, [/mm] da $f$ normiert ist und ganzzahlige Koeffizienten hat) haben, was man schnell ausschliessen kann, da $f$ irreduzibel ist.
> Daraus folgt aber a [mm]\in \IQ,[/mm] was ein Wiederspruch zur
> Irreduzibilität von f ist.
Genau. Oder man setzt es einfach in $f$ ein und sieht, dass nicht 0 rauskommt ;)
> Damit hast du schonmal eine zweite
> > Nullstelle von [mm]f[/mm], die in [mm]\IQ(a)[/mm] liegt. Kann die dritte
> > jetzt noch ausserhalb von [mm]\IQ(a)[/mm] liegen?
>
>
>
> f(x)= [mm](x-a)(x-(a^2-2))[/mm] (x-b) in [mm]\IQ(a)[/mm]
>
> Da f(x) in [mm]\IQ[x][/mm] liegt muss dann auch b in [mm]\IQ(a)[/mm] liegen.
Genau, wenn der letzte Koeffizient von $f$ sagen wir mal $c [mm] \in \IQ$ [/mm] heisst, dann ist $b = [mm] -\frac{c}{a (a^2 - 2)}$.
[/mm]
> Stimmt das so?
Ja.
LG Felix
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