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| Aufgabe | Sei K ein K¨orper.
1. Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie :
Die Charakteristik von K ist p , K ist eine Körpererweiterung von [mm] \IF_{p}.
[/mm]
2. Zeigen Sie :
Die Charakteristik von K ist 0 , K ist eine Körpererweiterung von [mm] \IQ. [/mm] |
Hallo! Bräuchte driongend Hilfe: Wir hatten in der Vorlesung die Charakteristik von Frobenius durchgesprochen. Wenn K ein Körper ist, heißt die kleinste Zahl [mm] n\ge [/mm] 1 mit 1+1+...+1=0 Charakteristik von K, falls sie existiert. Existiert eine solche Zahl nicht, setze char(K)=0....
Wie muss ich nun die Aufgabe in Angriff nehmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:56 So 15.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K ein K¨orper.
> 1. Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie :
> Die Charakteristik von K ist p , K ist eine
> Körpererweiterung von [mm]\IF_{p}.[/mm]
> 2. Zeigen Sie :
> Die Charakteristik von K ist 0 , K ist eine
> Körpererweiterung von [mm]\IQ.[/mm]
> Hallo! Bräuchte driongend Hilfe: Wir hatten in der
> Vorlesung die Charakteristik von Frobenius durchgesprochen.
> Wenn K ein Körper ist, heißt die kleinste Zahl [mm]n\ge[/mm] 1 mit
> 1+1+...+1=0 Charakteristik von K, falls sie existiert.
> Existiert eine solche Zahl nicht, setze char(K)=0....
> Wie muss ich nun die Aufgabe in Angriff nehmen?
Beantworte folgende Fragen der Reihe nach, dann solltest du eine Idee bekommen:
1) Wieviele Ringhomomorphismen [mm] $\IZ \to [/mm] K$ gibt es? (Also welche, die 1 auf 1 abbilden.)
2) Was haben diese Ringmorphismen mit der Charakteristik zu tun?
3) Wenn die Charakteristik $> 0$ ist, wende den Homomorphiesatz an, dann bist du fertig.
4) Wenn die Charakteristik $= 0$ ist, verwende die universelle Eigenschaft des Quotientenkoerpers von [mm] $\IZ$.
[/mm]
LG Felix
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Hi!
Was ist der Homomorphiesatz??? Sowas steht in meinem Skript nicht... :o(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 So 15.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Was ist der Homomorphiesatz??? Sowas steht in meinem
> Skript nicht... :o(
vielleicht nicht unter diesem Namen... Hast du mal google gefragt?
Er besagt im Prinzip folgendes: Ist [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] H$ ein Homomorpihsmus von Gruppen/Vektorraeumen/Moduln/Ringen, so ist [mm] $\mathrm{img}(\varphi) \cong G/\ker \varphi$.
[/mm]
LG Felix
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Danke. Aber leider verstehe ich die Definition leider gar nicht.
Und die Fragen kriege ich auch nicht beantwortet. Ich meine, woran erkenne ich genau, wie viele Ringhomomorphismen es gibt, die 1 auf 1 abbilden? Da scheitere ich schon.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Di 17.04.2007 | | Autor: | Kyle |
Hallo,
vielleicht hilft es Dir weiter, wenn Du die Charakteristik anders definierst. Daß die Definitionen äquivalent sind, kann man leicht nachrechnen (ich weiß, so was schreibt man nicht, aber es ist so  ).
Ich betrachte einfach eine Abbildung von [mm] \IZ [/mm] in meinen Körper, in dem ich die 1 auf die 1 meines Körpers abbilde und jede natürliche Zahl n auf die n-fache Summe der 1 meines Körpers. Für negative Zahlen nehme ich dann einfach das Inverse.
Diese Abbildung ist ein Ringhomomorphismus.
Nun kann ich mir angucken, welche Zahlen aus [mm] \IZ [/mm] auf die Null abgebildet werden, also den Kern meiner Abbildung. Der Kern ist ein Ideal in [mm] \IZ [/mm] (ich hoffe, das hattet ihr schon), da es ja ein Homomorphismus ist. Der Kern kann nicht ganz [mm] \IZ [/mm] sein, da ja die 1 nicht enthalten ist.
Also muß der Kern entweder nur aus der Null bestehen oder eine Menge [mm] p\IZ [/mm] für eine Primzahl p sein, da dies alle Ideale in [mm] \IZ [/mm] sind.
Ist der Kern 0, so weiß ich, daß das Bild meiner Abbildung isomorph zu [mm] \IZ [/mm] ist und da ich in einen Körper abbilde, enthält dieser auch den Quotientenkörper des Bildes und dieser ist dann zu [mm] \IQ [/mm] isomorph.
Ist der Kern [mm] p\IZ, [/mm] so erhalte ich analog einen zu [mm] \IF_{p} [/mm] isomorphen Unterkörper in K.
Einfach geht das ganze mit dem Homomorphiesatz, aber den hattet ihr ja noch nicht.
Ich hoffe, das hilft etwas weiter,
liebe grüße,
kyle
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hi! Danke erstmal! Jetzt hab ich glaube sogar verstanden, was ein Ringhomomorphismus ist... Kann ich das jetzt so auch in die Aufgabe schreiben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Do 19.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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