Körperisomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Do 11.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo alle zusammen, ich soll einen Körperisomorphismus vom Körper der Komplexenzahlen in den der Quaternionen finden, ist dieser wohl richtig:
[mm] \phi (a+bi,c+di)=(a+bi+cj+dk) [/mm]
wenn nein, hätte dann jemand von euch eine Idee?
Gruß Toyo
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H ist sicher nicht isomorph zu [mm] \IC, [/mm] denn [mm] \IC [/mm] ist als abelsche Gruppe bezüglich der Addition isomorph zu [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR, [/mm] und H ist aufgefaßt als abelsche Gruppe (immer bezüglich der Addition +) isomorph zu [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] außerdem ist [mm] \IC [/mm] ein Körper, während H ein Schiefkörper ist.
Allerdings läßt sich auf [mm] \IC [/mm] x [mm] \IC [/mm] eine Multiplikation definieren, die [mm] \IC [/mm] x [mm] \IC [/mm] zu einem Schiefkörper macht, welcher isomorph zu H ist.
Wie das geht? Die Seite
http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/grundlagen/quat.htm
Bietet einen Hinweis. Habe leider keine Zeit Dir das im Detail aufzuschreiben. Aber das kriegst Du schon hin :o)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Do 11.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Mix und alle andern,
ok ich hab meine Frage glaub ich nicht so doll formuliert,wie sollen eine Abbildung angeben, die den Körper der komplexen Zahlen isomorph in den Quaternionenschiefkörper einbettet.
Erfüllt meine Abbildung denn diesen Zweck?
Und wie kann ich genau nachweisen, dass meine Abb. die k.Zahlen in den Quat. einbettet?
Danke für eure Hilfe.
Gruß Toyo
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Hallo Toyo,
die Abbildung die du angegeben hast, bildet von C x C nach H ab, nicht von C nach H.
Sie ist also keine Einbettung der komplexen Zahlen in die Quaternionen.
Deine Aufgabe lautet also, einen Monomorphismus von C nach H anzugeben.
Wenn du deine ursprüngliche Abbildung leicht modifizierst, solltest du eine geeignete Abbildung finden (und beachte dabei, dass diese sicherlich nicht surjektiv sein wird, weil C und H nicht isomorph sind).
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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