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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Manuela |
| Aufgabe | Seien p, q Primzahlen
Zeigen Sie , dass die Körper [mm] \sub\IQ\ [/mm] ( [mm] \wurzel{p} [/mm] )und [mm] \sub\IQ\ (\wurzel{q}) [/mm] nicht isomorph sind. |
Meine Lösung dazu:
Könnte das mal bitte jemand überprüfen ob man das alles so folgern kann.
Zu jeder Nullstelle [mm] \beta [/mm] des Minimalpolynoms von [mm] \wurzel{p} [/mm] über [mm] \sub\IQ\ [/mm] gibt es genau einen K-Isomorphismus von [mm] \sub\IQ\ (\wurzel{p}) [/mm] auf [mm] \sub\IQ\ (\wurzel{\beta}).
[/mm]
Alle K-Homomorphisen von [mm] \sub\IQ\ (\wurzel{p}) [/mm] haben diese Form
Grand der Körpererweiterung von [mm] \sub\IQ\ (\wurzel{p}) [/mm] über [mm] \sub\IQ\ [/mm] ist 2, da [mm] \wurzel{p}
[/mm]
kein Element [mm] \sub\IQ\ [/mm] und das Minimalpolynom [mm] x^2-p [/mm] ist.
Daraus folgt Anzahl der Homomorphisemen von [mm] \sub\IQ\ (\wurzel{p}) [/mm] auf [mm] \sub\IQ\ (\wurzel{\beta}) [/mm] ist <= 2
Da das Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat gibt es genau 2 solche Homomorphisemen s
1. s [mm] (\wurzel{p}) [/mm] = [mm] \wurzel{p}
[/mm]
2. s [mm] (\wurzel{p}) [/mm] = - [mm] \wurzel{p}
[/mm]
Daraus folgt: Es gibt keinen Hom von [mm] \sub\IQ\ (\wurzel{p}) [/mm] auf [mm] \sub\IQ\ (\wurzel{q})
[/mm]
Daraus folgt: Es gibt keinen solchen Isomorphismus
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Fr 02.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Manuela!
> Seien p, q Primzahlen
>
> Zeigen Sie , dass die Körper [mm]\sub\IQ\[/mm] ( [mm]\wurzel{p}[/mm] )und
> [mm]\sub\IQ\ (\wurzel{q})[/mm] nicht isomorph sind.
> Meine Lösung dazu:
> Könnte das mal bitte jemand überprüfen ob man das alles so
> folgern kann.
>
> Zu jeder Nullstelle [mm]\beta[/mm] des Minimalpolynoms von
> [mm]\wurzel{p}[/mm] über [mm]\sub\IQ\[/mm] gibt es genau einen
> K-Isomorphismus von [mm]\sub\IQ\ (\wurzel{p})[/mm] auf [mm]\sub\IQ\ (\wurzel{\beta}).[/mm]
Du meinst hier und im folgenden [mm] $\beta$ [/mm] und nicht [mm] $\sqrt{\beta}$, [/mm] oder?
> Alle K-Homomorphisen von [mm]\sub\IQ\ (\wurzel{p})[/mm] haben diese
> Form
>
> Grand der Körpererweiterung von [mm]\sub\IQ\ (\wurzel{p})[/mm] über
> [mm]\sub\IQ\[/mm] ist 2, da [mm]\wurzel{p}[/mm]
> kein Element [mm]\sub\IQ\[/mm] und das Minimalpolynom [mm]x^2-p[/mm] ist.
> Daraus folgt Anzahl der Homomorphisemen von [mm]\sub\IQ\ (\wurzel{p})[/mm]
> auf [mm]\sub\IQ\ (\wurzel{\beta})[/mm] ist <= 2
> Da das Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat gibt es
> genau 2 solche Homomorphisemen s
>
> 1. s [mm](\wurzel{p})[/mm] = [mm]\wurzel{p}[/mm]
>
> 2. s [mm](\wurzel{p})[/mm] = - [mm]\wurzel{p}[/mm]
Soweit so gut. (Es ist uebrigens [mm] $\IQ(\sqrt{p}) [/mm] = [mm] \IQ(\beta)$, [/mm] da [mm] $\beta [/mm] = [mm] -\sqrt{p}$ [/mm] ist...)
> Daraus folgt: Es gibt keinen Hom von [mm]\sub\IQ\ (\wurzel{p})[/mm]
> auf [mm]\sub\IQ\ (\wurzel{q})[/mm]
Warum sollte das daraus folgen?
Mach den Beweis doch anders: Betrachte das Polynom [mm] $x^2 [/mm] - p [mm] \in \IQ[x]$. [/mm] Ueber [mm] $\IQ(\sqrt{p})$ [/mm] hat es eine Nullstelle. Wenn es nun einen Isomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IQ(\sqrt{p}) \to \IQ(\sqrt{q})$ [/mm] gaebe, so waere [mm] $\varphi(\sqrt{p})$ [/mm] ebenfalls eine Nullstelle von [mm] $x^2 [/mm] - p$, da [mm] $\varphi(p) [/mm] = p$ und [mm] $\varphi(1) [/mm] = 1$ ist.
Es reicht also zu zeigen, dass [mm] $x^2 [/mm] - p$ genau dann eine Nullstelle in [mm] $\IQ(\sqrt{q})$ [/mm] hat, wenn $q = p$ ist. Angeommen, [mm] $x^2 [/mm] - p$ hat die Nullstelle [mm] $\gamma \in \IQ(\sqrt{q})$. [/mm] Jedes Element in [mm] $\IQ(\sqrt{q})$ [/mm] hat die Form [mm] $\alpha [/mm] + [mm] \sqrt{q} \beta$, [/mm] womit es [mm] $\alpha, \beta \in \IQ$ [/mm] gibt mit [mm] $\gamma [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \sqrt{q} \beta$. [/mm] Nun ist $0 = [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \sqrt{q} \beta)^2 [/mm] - p = [mm] (\alpha^2 [/mm] + q [mm] \beta^2 [/mm] - p) + 2 [mm] \alpha \beta \sqrt{q}$. [/mm] Da [mm] $\sqrt{q}$ [/mm] und $1$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] l.u. sind, muss [mm] $2\alpha \beta [/mm] = 0$ und [mm] $\alpha^2 [/mm] + q [mm] \beta^2 [/mm] - p = 0$ sein. Mit etwas mehr Rechnung bekommst du nun einen Widerspruch... 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Manuela |
Danke für deine Hilfe!
Ich dachte wenn es genau 2 Homomorphisemen gibt und ich diese beiden kenne kann es keinen weiteren Hom
[mm] s(\wurzel{p}) \rightarrow \wurzel{q}
[/mm]
geben.
Ist das falsch?
Viel Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 So 04.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Manuela!
> Ich dachte wenn es genau 2 Homomorphisemen gibt und ich
> diese beiden kenne kann es keinen weiteren Hom
>
> [mm]s(\wurzel{p}) \rightarrow \wurzel{q}[/mm]
>
> geben.
Ich kann es mir nicht verkneifen, dich um eine viel größere sprachliche Präzision zu bitten, gerade auch, weil du Lehrerin werden willst.
Wenn es genau 2 Homomorphismen gibt, dann gibt es eben 2 und keine weiteren, egal, ob ich die beiden nun kenne oder nicht.
Und auch [mm] s(\wurzel{p}) \rightarrow \wurzel{q} [/mm] ist syntaktisch falsch, links steht ein Element aus der Bildmenge von s (rechts hoffentlich auch), da hat dann dieser Pfeil [mm] \rightarrow [/mm] nichts zu suchen, allenfalls ein Gleichheitszeichen, wenn das gemeint ist.
Versuch doch einfach mal, das durchzuziehen, was Felix vorschlägt. Wie werden denn bei euch Körpererweiterungen von [mm] \IQ [/mm] überhaupt realisiert, als Quotienten von Polynomringen oder als Unterkörper von [mm] \IC [/mm] oder wie sonst?
Gruß aus HH-Harburg und frohe Pfingsten
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich dachte wenn es genau 2 Homomorphisemen gibt und ich
> diese beiden kenne kann es keinen weiteren Hom
>
> [mm]s(\wurzel{p}) \rightarrow \wurzel{q}[/mm]
>
> geben.
Es gibt genau zwei Homomorphismen [mm] $\IQ(\sqrt{p}) \to \IQ(\sqrt{p})$. [/mm] Das sagt nichts ueber moegliche Homomorphismen [mm] $\IQ(\sqrt{p}) \to \IQ(\sqrt{q})$ [/mm] aus. Und gerade ueber die willst du was wissen.
LG Felix
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