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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:09 Do 08.02.2007 | | Autor: | Dui-Ti |
| Aufgabe | Es sei folgender Körperturm gegeben:
[mm] \IQ[i,\wurzel{2},\wurzel[3]{3}] [/mm] | [mm] \IQ[i,\wurzel{2}] [/mm] | [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] | [mm] \IQ
[/mm]
a) Berechnen Sie die Grade aller sechs Körpererweiterungen in diesem Köperturm
b) Bestimmen Sie jeweils ein primitives Element (von möglichst einfacher Gestalt) |
Schönen guten Abend!
Ich bräuchte bitte eure Hilfe bei dieser Aufgabe:
Wir haben im Tutorium ein Beispiel dazu gerechnet. Vielleicht könnte mir jemand das Beispiel erklären, damit ich die Aufgabe lösen kann.
Wir hatten folgenden Körperturm gegeben:
[mm] \IQ[\wurzel{2},\wurzel{3}] [/mm] | [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] | [mm] \IQ
[/mm]
Wir definierten:
L := [mm] \IQ[\wurzel{2},\wurzel{3}]
[/mm]
M := [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm]
K := [mm] \IQ
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] dim_{K}M=?
[/mm]
[mm] dim_{M}L=?
[/mm]
Die Frage ist: [mm] x^{2}-3 [/mm] irreduzibel in [mm] (\IQ [\wurzel{2}])[x]
[/mm]
Mein erstes Problem ist jetzt, wie sind wir auf dieses Polynom gekommen? Durch scharfes Hinsehen? Und warum muss es irreduzibel sein?
Da [mm] x^{2}-3 [/mm] in [mm] \IQ [\wurzel{2}] [/mm] keine Nullstellen hat, ist die Antwort: JA
[mm] \Rightarrow dim_{M}L=2
[/mm]
Ich weiß, dass Polynome 2. und 3. Grades irreduzibel sind, wenn sie keine Nullstellen haben. [mm] dim_{M}L=2 [/mm] folgt daraus, dass das Polynom Grad 2 hat. Das ist mir klar.
Ich würde mich freuen, wenn mich jemand in die Geheimnisse der Körpertürme einweihen würde.
Ich wünsche eine gute Nacht
Dui-Ti
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 So 11.02.2007 | | Autor: | Dui-Ti |
HI nochmal,
vielleicht könnte mir jemand, statt dem Beispiel, zumindest erklären warum ich sechs Körpererweiterung habe. Also woher die 6 kommt.
Das würde mir bestimmt schon weiter helfen.
LG Dui-Ti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 So 11.02.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> vielleicht könnte mir jemand, statt dem Beispiel, zumindest
> erklären warum ich sechs Körpererweiterung habe. Also woher
> die 6 kommt.
also zu den sechs körpererweiterungen kommst du, in dem du jeweils übereinander liegende körper als erweiterung voneinenader auffasst. im fall [mm] $\mathbb{Q}[i, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}] \; [/mm] | [mm] \; \mathbb{Q}[i, \sqrt{2}] \; [/mm] | [mm] \; \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \; [/mm] | [mm] \; \mathbb{Q}$ [/mm] hast du die sechs erweiterungen
(i) [mm] $\mathbb{Q}[\sqrt{2}] \; [/mm] | [mm] \; \mathbb{Q}$
[/mm]
(ii) $ [mm] \mathbb{Q}[i, \sqrt{2}] \; [/mm] | [mm] \; \mathbb{Q}$
[/mm]
(iii) [mm] $\mathbb{Q}[i, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}] \; [/mm] | [mm] \; \mathbb{Q}$
[/mm]
(iv) [mm] $\mathbb{Q}[i, \sqrt{2}] \; [/mm] | [mm] \; \mathbb{Q}[\sqrt{2}] [/mm] $
(v) [mm] $\mathbb{Q}[i, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}] \; [/mm] | [mm] \; \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$
[/mm]
(vi) [mm] $\mathbb{Q}[i, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}] \; [/mm] | [mm] \; \mathbb{Q}[i, \sqrt{2}] [/mm] $
die grade musst du nur für im körperturm "direkt benachtbarte" körpererweiterungen bestimmen, also für (i), (iv) und (vi), die restlichen grade erhälst du durch die gradformel.
um die benötigten grade der erweiterungen (i), (iv) und (vi) zu bestimmen überlegt man sich, den grad des minimalpolynoms des adjungierten elements. dieser grad ist dann genau gleich dem grad der körpererweiterung. um für eine körpererweiterung $L = [mm] K[\alpha]$ [/mm] über $K$ das minimalpolynom zu bestimmen, kann man etwa so vorgehen: man beginnt mit $x = [mm] \alpha$ [/mm] und erhebt nun die gleichung so lange zu potenzen und vereinfacht, bis man ein polynom mit ausschließlich koeffizienten in $K$ erhält. damit erhält man ein polynom in $K[x]$ mit nullstelle [mm] $\alpha$. [/mm] das minimalpolynom ist nun - sofern das so gefundene polynom nicht irreduzibel und damit schon selbst das minimalpolynom ist - ein teiler dieses so erhaltenen polynoms.
etwa für $L = [mm] \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$, $K=\mathbb{Q}$ [/mm] erhält man schon nach potenzieren der gleichung $x = [mm] \sqrt{2}$ [/mm] mit $2$ die gleichung [mm] $x^2 [/mm] = 2$ und somit [mm] $x^2 [/mm] - 2 = 0$. das polynom $f = [mm] x^2 [/mm] - 2 [mm] \in \mathbb{Q}[x]$ [/mm] ist irreduzibel über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] - etwa nach eisenstein - und damit das minimalpolynom von [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt{2}$. [/mm] folglich gilt [mm] $[\mathbb{Q}[\sqrt{2}] [/mm] : [mm] \mathbb{Q}] [/mm] = [mm] \dim_\mathbb{Q} \mathbb{Q}[\sqrt{2}] [/mm] = 2$. in diesem fall hätte man ein polynom, welches [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] als nullstelle hat, auch direkt sehen können.
und so musst du nun auch mit den anderen körpererweiterungen vorgehen. probiere das doch mal.
grüße
andreas
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(Frage) überfällig | | Datum: | 08:35 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Dui-Ti |
Guten Morgen,
zu meiner Schande muss ich gestehen, das ich das einfach nicht hinkriege.
Ich hab deine Erläuterungen schon verstanden und für [mm] \IQ[\wurzel{2}|\IQ [/mm] ist mir das auch klar,
aber wenn ich dann beispielsweise [mm] \IQ[i,\wurzel{2}|\IQ [/mm] habe, was setze ich dann x? Heißt das [mm] x=i+\wurzel{2} [/mm] und das potenziere ich dann?
Hoffe die Frage war jetzt nicht zu dämlich.
LG Dui-Ti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Dui-Ti |
Ich glaube ich lag gerade völlig daneben.
Kann es sein, das ich bei [mm] \IQ[i,\wurzel{2}]|\IQ [/mm] Ploynome finden muss, die i und [mm] \wurzel{2}] [/mm] als Nullstellen haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Di 13.02.2007 | | Autor: | Kyle |
Hi!
Die Frage ist, nach was Du suchen willst, ob Du ein primitives Element suchen willst oder das zugehörige Minimalpolynom.
Die Körpererweiterung [mm] \IQ (\wurzel{2},i) \backslash \IQ [/mm] hat Grad 4 nach dem Gradsatz, weil ja i nicht in [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] enthalten ist und auch darüber das Minimalpolynom [mm] x^2+1 [/mm] hat.
Wenn Du zu dieser Körpererweiterung ein primitives Element suchst, dann müßte i + [mm] \wurzel{2} [/mm] funktionieren, dazu kannst Du Dir dann auch ein Minimalpolynom suchen, das dann Grad 4 haben sollte.
Liebe Grüße,
Kyle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 14.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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