Kolmogorovsches GdgZ < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Ich bereite mich gerade auf eine Prüfung in Stochastik vor, und habe in alten Prüfungsprotokollen meines Profs folgende Aufgabe gefunden:
Thema war das Kolmogorovsche GdgZ. Der Student sollte den Zusammanhang zwischen der fast sicheren Konvergenz gegen eine Konstante (wie es im Kolmogorovsche GdgZ steht) und den Kolmogorovschen 0-1-Gesetzen erläutern?
Ich krieg den Bogen leider nicht. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Nicht unbedingt exakt, sondern vielmehr die grobe Idee dahinter.
Vielen Dank
Groetjes
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Hi, masahiro,
die mir bekannten Gesetze der großen Zahlen sind:
(1) Das "schwache Gesetz dgZ" von Bernoulli:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(|h_{n} [/mm] - p| < [mm] \epsilon) [/mm] = 1.
Dieser Satz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Unterschied zwischen der rel.H. [mm] h_{n} [/mm] und der Trefferwahrsch. p kleiner als ein fest gewählter Wert [mm] \epsilon [/mm] ist, mit zunehmendem n gegen 1 (also 100%) geht. Das heißt speziell: [mm] h_{n} [/mm] ist (wenn n groß genug gewählt wird) ein [mm] \red{guter\ Schaetzwert} [/mm] für ein (unbekanntes!) p.
(2) Das "starke Gesetz dgZ" von Borel und Cantelli:
[mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty} h_{n} [/mm] = p) = 1
Hier wird sozusagen die Wahrscheinlichkeit für Existenz eines Grenzwertes von [mm] h_{n} [/mm] untersucht. Das Gesetz sagt aus, dass die rel.H. [mm] \red{fast\ sicher} [/mm] gegen eine Wahrscheinlichkeit p konvergiert.
mfG!
Zwerglein
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Es soll folgendes über das 0-1 Gesetz von Kolmogorff bewiesen werden
[mm] (x_{k}) [/mm] seien relle ZV, unabhängig mit gleicher Verteilung.
Falls [mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_{k}\to [/mm] y fast sicher
[mm] \Rightarrow E(x_{k}) [/mm] existiert, y konstanst fast sicher und y = [mm] $E(x_{k})$ [/mm] fast sicher.
Wir haben im Beweis Borel-Cantelli verwendet, aber es gibt wohl noch einen Zugang über das 0-1 Gesetz von Kolomogoroff für terminale sigma-Algebren. Das besagt, das die W´keit für Ereignisse aus der terminale sigma-Algebra nur 0 oder 1 sein kann.
Leider finde ich den Zusammenhang nicht.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 21.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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