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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mo 15.03.2021 | | Autor: | jasmin89 |
| Aufgabe | Eine Schublade enthält weiße und schwarze Socken. Werden zwei Socken blind gezogen dann sind beide mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% weiß.
Frage: Wieviele Socken sind mindestens in der Schublade, wenn die Anzahl der schwarzen Socken gerade ist? |
Kann mir jemand eine Hilfestellung geben wie ich die Aufgabe lösen kann. Auf den ersten Blick hört sich die Aufgabe einfach an aber ich komme da auf keinen guten Lösungsweg.
Ich würde einfach sagen, 2 Socken sind mindestens in der Schublade. Denn 4 Socken müssen in der Schublade sein um eine 50% Chance zu haben diese zu ziehen. Und dann würde ich sagen dass dann nur noch zwei Socken im Kästchen sind da ich ja schon zwei gezogen habe. :)
Aber evtl. kann mir ja hier jemand auf die Sprünge helfen
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Hallo jasmin,
entschuldige die späte Antwort, hier im MR ging es wohl ein bisschen mit dem Fehlerteufel zu, wieso deine Frage nicht angezeigt wurde.
> Kann mir jemand eine Hilfestellung geben wie ich die
> Aufgabe lösen kann. Auf den ersten Blick hört sich die
> Aufgabe einfach an aber ich komme da auf keinen guten
> Lösungsweg.
Anderer Ansatz: Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit zwei weiße Socken zu ziehen, wenn in der Kiste n Socken sind, von denen k weiß sind?
Gruß,
Gono
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Nach einem Gedankenfehler in meiner ersten Antwort hier die Lösung:
Stell dir vor, dass du die beiden Socken blind der Reihe nach entnimmst. Zu Beginn hast du n Socken, w davon sind weiß. Dann erhältst du folgenden W.-Baum:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die W. für 2 weiße Socken beträgt nun [mm] \bruch{w(w-1)}{n(n-1)}, [/mm] und das soll 1/2 ergeben. Daraus folgt nun
2 w(w-1)=n(n-1).
Nun soll die Anzahl der schwarzen Socken gerade sein, also 2k. Damit ergibt sich: n=w+2k und daraus
[mm] 2w^2-2w=(w+2k)(w+2k-1)=w^2+4wk+4k^2-w-2k \Rightarrow
[/mm]
[mm] w^2-w-4wk-4k^2+2k=0 \Rightarrow
[/mm]
[mm] w=\bruch{1+4k}{2}\pm \wurzel{\bruch{1+8k+16k^2}{4}+4k^2-2k}
[/mm]
[mm] =\bruch{1+4k}{2}\pm \bruch{\wurzel{1+32k^2}}{2}
[/mm]
Das Ganze ist nur lösbar im Sinne der Aufgabenstellung, wenn die letzte Wurzel eine Quadratzahl ist. Die Lösung hat den kleinsten Wert beim kleinsten Wert von k. Man probiert kurz durch und stellt fest, dass dies für k=3 zum ersten Mal der Fall ist. Daraus ergibt sich:
[mm] w=\bruch{1+12}{2}+ \bruch{\wurzel{1+288}}{2}= [/mm] 15 (Lösung -2 entfällt)
n=w+2k=21
Probe mit dem Ausgangsproblem: 15/21*14/20=210/420=1/2
Wenn die Anzahl der schwarzen Socken auch ungerade sein darf, geht es mit w=3 und n=4:
3/4*3/3=1/2
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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In meiner ersten Antwort habe ich mit der Zerlegung eines Dreiecks in zwei Teildreiecke argumentiert. Dabei waren die Teildreiecke aber keine Darstellung der Summe 1+2+3+4..., sondern 1+3+5+7... und die Argumentation daher falsch. Habe ich zum Glück selber noch gemerkt.
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