Kombination von Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Sa 25.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe | [mm] w_1,...w_n_+_2) [/mm] in [mm] K^n
[/mm]
z.zg. es gibt [mm] (\lambda_1, [/mm] ... [mm] ,\lambda_n_+_2) [/mm] und [mm] (\mu_1, [/mm] ... [mm] ,\mu_n_+_2) [/mm] in [mm] K^{n+2}, [/mm] linear unabhängig mit
[mm] \lambda_1*w_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_n_+_2*w_n_+_2 [/mm] = [mm] \mu_1*w_1 [/mm] + ... + [mm] \mu_n_+_2*w_n_+_2 [/mm] = 0 |
ok hier fehlt mir jetzt so ziemlich jeder Ansatz..ich weiss nur dass gilt:
[mm] w_1, [/mm] ..., [mm] w_m \in K^n [/mm] mit m>n so ist [mm] w_1, [/mm] ... [mm] ,w_m [/mm] linear abhängig..
was ja hier insofern der Fall wäre da [mm] w_1, [/mm] ... [mm] w_n_+_2 \in K^n [/mm] und m = n+2 > n somit ist [mm] w_1, [/mm] ..., [mm] w_n [/mm] lin. abhängig
aber
[mm] (\lambda_1, [/mm] ... [mm] ,\lambda_n_+_2) [/mm] und [mm] (\mu_1, [/mm] ... [mm] ,\mu_n_+_2) [/mm] in [mm] K^{n+2}
[/mm]
somit ist hier quasi m = n+2 = n+2
wie kann ich das nun so "vereinen", dass ich zeigen kann das es linear unabhängig ist?
freue mich über tipps
liebe grüsse
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Hallo,
hier scheinen mir wesentliche Teile der Aufgabenstellung zu fehlen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Sa 25.10.2008 | | Autor: | raemic |
Nein das ist der Wortlaut der Aufgbenstellung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Sa 25.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
wie man sehen kann, habe ich mich dieser Frage auch schon annehmen wollen, dann aber davon abgetan, weil mir - wie angela bereits erwähnte - Informationen zu fehlen scheinen. Befindet sich die Aufgabe irgendwo im Netz?
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Sa 25.10.2008 | | Autor: | raemic |
Nein, die Aufgabe steht genau so da, einzig ein Hinweis das man mit Induktion über n vorgehen kann, aber das gehört ja in dem Sinn nicht zur Aufgabe.
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> Nein das ist der Wortlaut der Aufgbenstellung
Hallo,
ja, und beim zweiten Lesen meine ich die Aufgabe auch zu verstehen.
Ich stell's wieder auf unbantwortet.
Gruß v. Angela
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> ( [mm]w_1,...w_n_+_2)[/mm] in [mm]K^n[/mm]
Hallo,
diesem hier kannst Du schon die erste Informationen entnehmen:
1. es ist [mm] (w_1,...w_n_+_2) [/mm] nicht linear unabhängig. (Ich sehe gerade, daß Du das auch schon herausgefunden hattest.)
2. Von den Vektoren [mm] (w_1,...w_n_+_2) [/mm] können maximal n linear unabhängig sein.
Zur Begründung mußt Du Dich ein bißchen im Skript umschauen, im Dunstkreis von Basis, Dimension, Erzeugendensystem solltest Du was Passendes finden.
Nimm dann an, daß [mm] w_{n+1} [/mm] und [mm] w_{n+2} [/mm] von [mm] (w_1,...w_n) [/mm] linear abhängig sind.
(Das darfst Du tun, denn wenn nun zufällig "hinten" linear unabhängige stünden, numeriert man um.
In Mathesprache würde man schreiben: o.B.d.A. (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) seinen [mm] w_{n+1} [/mm] und [mm] w_{n+2} [/mm] von [mm] (w_1,...w_n) [/mm] linear abhängig)
Was bedeutet es, wenn [mm] w_{n+1} [/mm] von [mm] (w_1,...w_n) [/mm] abhängig ist, was, wenn [mm] w_{n+2} [/mm] von [mm] (w_1,...w_n) [/mm] abhängig ist?
Versuch jetzt mal ein bißchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 26.10.2008 | | Autor: | raemic |
also mal kurz vorweg: ich hab lin. abhängige vektoren [mm] w_1, [/mm] ..., [mm] w_{n+2} [/mm] aus [mm] K^n [/mm] welche mit Koeffizienten aus [mm] K^{n+2} [/mm] lin. unabhängig sein sollen. ??
> 2. Von den Vektoren [mm](w_1,...w_n_+_2)[/mm] können maximal n
> linear unabhängig sein.
[mm] w_1,...w_n \in K^n [/mm] lineare unabhängig
> Nimm dann an, daß [mm]w_{n+1}[/mm] und [mm]w_{n+2}[/mm] von [mm](w_1,...w_n)[/mm]
> linear abhängig sind.
also noch einmal wen m>n [mm] w_1,...,w_m \in K^n [/mm] dann ist es linear abhängig
für z.B. m<=n bei n=2, für [mm] v_1 [/mm] = (a,b) und [mm] v_2 [/mm] = (c,d) gilt [mm] v_1, v_2 [/mm] lin.abhängig [mm] \gdw [/mm] ad-bc=0
kann ich das auf [mm] w_{n+1} [/mm] und [mm] w_{n+2} [/mm] übertragen?
bzw. müsste ich zeigen das es nicht in jedem Fall zu übertragen ist?
> (Das darfst Du tun, denn wenn nun zufällig "hinten" linear
> unabhängige stünden, numeriert man um.
Wieso nummeriert man um? das verstehe ich leider nicht.. wieso muss man das tun?
> In Mathesprache würde man schreiben: o.B.d.A. (ohne
> Beschränkung der Allgemeinheit) seinen [mm]w_{n+1}[/mm] und [mm]w_{n+2}[/mm]
> von [mm](w_1,...w_n)[/mm] linear abhängig)
und weshalb dann lin. abhängig und nicht lin. unabhängig oder meinst du das man es mit einem Wiedersrpuchsbeweis zeigen soll?
> Was bedeutet es, wenn [mm]w_1[/mm] von [mm](w_1,...w_n)[/mm] abhängig ist,
> was, wenn [mm]w_2[/mm] von [mm](w_1,...w_n)[/mm] abhängig ist?
es bedeutet das sich [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] aus [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] darstellen lassen, nur meine Überlegungen sind wohl zu trivial als das ich verstehen würde wie ich nun konkret einen Nutzen aus dieser Information ziehen könnte
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> also mal kurz vorweg: ich hab lin. abhängige vektoren [mm]w_1,[/mm]
> ..., [mm]w_{n+2}[/mm] aus [mm]K^n[/mm] welche mit Koeffizienten aus [mm]K^{n+2}[/mm]
> lin. unabhängig sein sollen. ??
Hallo,
nein.
Es geht darum, daß Du lambdas und Müs so findet, daß
$ [mm] \lambda_1\cdot{}w_1 [/mm] $ + ... + $ [mm] \lambda_n_+_2\cdot{}w_n_+_2 [/mm] $ = 0
und
$ [mm] \mu_1\cdot{}w_1 [/mm] $ + ... + $ [mm] \mu_n_+_2\cdot{}w_n_+_2 [/mm] $ = 0,
und daß die beiden Vektoren, die Du erhältst, wenn Du die jeweiligen Koeffizienten stapelst, linear unabhängig sind.
Probier's erstmal an einem konkreten Beispiel.
nehmen wir n=2,
[mm] v_1=\vektor{1\\0}, v_2=\vektor{0\\1}, v_3=\vektor{1\\1}, v_4=\vektor{1\\2}, [/mm]
und nun schau mal, ob Du das hinbekommst.
>
> > 2. Von den Vektoren [mm](w_1,...w_n_+_2)[/mm] können maximal n
> > linear unabhängig sein.
>
> [mm]w_1,...w_n \in K^n[/mm] lineare unabhängig
>
> > Nimm dann an, daß [mm]w_{n+1}[/mm] und [mm]w_{n+2}[/mm] von [mm](w_1,...w_n)[/mm]
> > linear abhängig sind.
>
> also noch einmal wen m>n [mm]w_1,...,w_m \in K^n[/mm] dann ist es
> linear abhängig
Ja.
>
> für z.B. m<=n bei n=2, für [mm]v_1[/mm] = (a,b) und [mm]v_2[/mm] = (c,d)
> [mm]v_1, v_2[/mm] lin.abhängig [mm]\gdw[/mm] ad-bc=0
Ich sehe nicht den Zusammenhang.
gilt
> [mm]v_1, v_2[/mm] lin.abhängig [mm]\gdw[/mm] ad-bc=0
>
> kann ich das auf [mm]w_{n+1}[/mm] und [mm]w_{n+2}[/mm] übertragen?
>
> bzw. müsste ich zeigen das es nicht in jedem Fall zu
> übertragen ist?
???
>
> > (Das darfst Du tun, denn wenn nun zufällig "hinten" linear
> > unabhängige stünden, numeriert man um.
>
> Wieso nummeriert man um? das verstehe ich leider nicht..
> wieso muss man das tun?
Damit es nicht ungeordnet zugeht, sortiert man die Vektoren so, daß hinten zwei stehen, die von den vorderen linear abhängig sind.
man muß da nur schreiben, daß man davon ausgeht, daß sie bereits in dieser Anordnung vorliegen.
>
> > In Mathesprache würde man schreiben: o.B.d.A. (ohne
> > Beschränkung der Allgemeinheit) seinen [mm]w_{n+1}[/mm] und [mm]w_{n+2}[/mm]
> > von [mm](w_1,...w_n)[/mm] linear abhängig)
>
> und weshalb dann lin. abhängig und nicht lin. unabhängig
Die beiden können ja nicht von den anderen n unabhängig sein, weil wir im [mm] K^n [/mm] sind.
> > Was bedeutet es, wenn [mm]w_{n+1}[/mm] von [mm](w_1,...w_n)[/mm] abhängig ist,
>
> > was, wenn [mm]w_{n+2}[/mm] von [mm](w_1,...w_n)[/mm] abhängig ist?
>
> es bedeutet das sich [mm]w_{n+1}[/mm] und [mm]w_{n+2}[/mm] aus [mm](w_1,...,w_n)[/mm]
> darstellen lassen,
Ganz genau. das ist der springende Punkt. Also gibt es Lambdas so, daß ..., und Müs so, daß...
Und dann weiter.
Gruß v. Angela
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