Kombinationen: Bestimmen von n < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Do 23.07.2009 | | Autor: | LisiT |
| Aufgabe | | Karin hat jeweils 24 von n verschiedenfarbigen Kugeln. Angenommen, Sie kann 20 Kugeln auf 230.230 Arten auswählen (Wiederholung erlaubt), wie hoch ist n? |
Hallo zusammen,
hoffentlich kann mir jemand mit dieser Frage weiterhelfen:
Wie berechne ich n, wenn die Anzahl der Kombinationen bekannt ist?
Meine Aufgabe führt zu folgender Gleichung:
[mm] \vektor{n+19 \\ 20} [/mm] = 230.230
Wie hoch ist n?
Danke schon mal!
Lisi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Karin hat jeweils 24 von n verschiedenfarbigen Kugeln.
> Angenommen, Sie kann 20 Kugeln auf 230.230 Arten auswählen
> (Wiederholung erlaubt), wie hoch ist n?
> Wie berechne ich n, wenn die Anzahl der Kombinationen
> bekannt ist?
> Meine Aufgabe führt zu folgender Gleichung:
> [mm]\vektor{n+19 \\ 20}[/mm] = 230.230
> Wie hoch ist n?
Hallo Lisi,
ich verstehe die obige Aufgabe und ihren
allfälligen Zusammenhang mit der nachfol-
genden Gleichung nicht.
Die Auflösung der Gleichung führt auf
[mm] \bruch{(n+19)!}{(n-1)!}=230230*20!\approx5.6*10^{23}
[/mm]
Gekürzt ergibt dies eine Gleichung vom
zwanzigsten Grad für die Unbekannte n,
für welche es kein einfaches Lösungsrezept
gibt.
Mit Probieren findet man aber in wenigen
Versuchen die passende Lösung n=7 .
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:16 Fr 24.07.2009 | | Autor: | LisiT |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke für die rasche Antwort.
> Hallo Lisi,
>
> ich verstehe die obige Aufgabe und ihren
> allfälligen Zusammenhang mit der nachfol-
> genden Gleichung nicht.
Ich habe die Aufgabe aus dem Englischen übersetzt.
Hier ist sie im Original:
Columba has two dozen each of n different colored beads.
If she can select 20 beads (with repetitions of colors allowed)
in 230,230 ways, what is the value of n?
> Die Auflösung der Gleichung führt auf
>
> [mm]\bruch{(n+19)!}{(n-1)!}=230230*20!\approx5.6*10^{23}[/mm]
>
> Gekürzt ergibt dies eine Gleichung vom
> zwanzigsten Grad für die Unbekannte n,
> für welche es kein einfaches Lösungsrezept
> gibt.
> Mit Probieren findet man aber in wenigen
> Versuchen die passende Lösung n=7 .
Deine Lösung (n = 7) ist jedenfalls korrekt.
Wie geht man denn beim Probieren am besten vor?
Lg
Lisi
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> Karin hat jeweils 24 von n verschiedenfarbigen Kugeln.
> Angenommen, Sie kann 20 Kugeln auf 230.230 Arten auswählen
> (Wiederholung erlaubt), wie hoch ist n?
> Hallo zusammen,
>
> hoffentlich kann mir jemand mit dieser Frage weiterhelfen:
>
> Wie berechne ich n, wenn die Anzahl der Kombinationen
> bekannt ist?
> Meine Aufgabe führt zu folgender Gleichung:
> [mm]\vektor{n+19 \\ 20}[/mm] = 230.230
> Wie hoch ist n?
>
> Danke schon mal!
> Lisi
Hallo,
jetzt habe ich auch verstanden, wie die
Aufgabe gemeint ist. Ich würde den ersten
Satz etwas anders formulieren:
"Karin hat je 24 Kugeln von jeder von n
verschiedenen Farben."
Mit der Formel für die Anzahl der Kombi-
nationen mit Wiederholungen führt dies
dann zur angegebenen Gleichung.
Probiert habe ich mit einem Rechner, der
eine [mm] C_n,r-Taste [/mm] hat:
[mm] \vektor{24\\20}=10'626 [/mm] zu klein
[mm] \vektor{30\\20}=30'045'015 [/mm] viel zu groß
etc.
Mir ist noch eingefallen, dass es viel-
leicht doch einen Weg gäbe, bei dem
man nicht nur aufs Herumprobieren
angewiesen ist. Zur Berechnung
von Fakultäten gibt es eine Näherungs-
formel (Stirling-Formel):
$\ [mm] n\,!\ \approx\ \sqrt{2\,\pi\,n}*\left(\frac{n}{e}\right)^n$
[/mm]
Allerdings kommt man auch damit
auf eine recht unhandliche Gleichung,
die man keineswegs elementar lösen
kann.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Sa 25.07.2009 | | Autor: | LisiT |
Hallo Al-Chwarizmi,
danke für die Erklärung! Hat mir sehr weitergeholfen.
Lg
Lisi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Sa 25.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Karin hat jeweils 24 von n verschiedenfarbigen Kugeln.
> Angenommen, Sie kann 20 Kugeln auf 230.230 Arten auswählen
> (Wiederholung erlaubt), wie hoch ist n?
> Hallo zusammen,
>
> hoffentlich kann mir jemand mit dieser Frage weiterhelfen:
>
> Wie berechne ich n, wenn die Anzahl der Kombinationen
> bekannt ist?
> Meine Aufgabe führt zu folgender Gleichung:
> [mm]\vektor{n+19 \\ 20}[/mm] = 230.230
> Wie hoch ist n?,
Hallo,
du kannst spaßeshalber mal etwas rumprobieren, wie 230230 entsteht.
Offensichtlich ist das 23*10*1001, und 1001=11*91=11*13*7.
Bei solchen Kombinatorik-Aufgaben kommen häufig Fakultäten vor und damit Produkte aufeinander folgender Zahlen. Der Faktor 23 ist da, aus 11 machen wir [mm] \bruch{22}{2}, [/mm] aus 13 machen wir [mm] \bruch{26}{2}, [/mm] die 7 riecht nach [mm] \bruch{21}{3} [/mm] . Damit haben wir (mit Lücken) schon Faktoren von 21 bis 26.
Gruß Abakus
>
> Danke schon mal!
> Lisi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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