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Kombinatorik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Fr 28.03.2008
Autor: el_grecco

Aufgabe
In einer Zuckerfabrik wird der Zucker in Packungen zu 10 g, 250 g, 500 g, 1 kg und 2,5 kg abgefüllt. Nun soll das ganze Sortiment in einem Schaukasten in einer Reihe ausgestellt werden, und zwar ein 2,5-kg-Paket und je zwei Pakete der übrigen Größen.

a) Auf wie viele verschiedene Arten ist das möglich? (5 BE)

Hallo!
Obige Aufgabe stammt aus dem Jahre 1986, Leistungskurs Mathematik, Bayern.
Die Lösung:

[mm] \bruch{9!}{2!^{4}} [/mm] = 22680

Meine Frage: Weshalb ist das Ergebnis nicht 9! = 362880?
(Dumme Frage: weil es falsch ist... Aber das Ergebnis leuchtet mir deshalb nicht ein, weil die Anzahl der Pakete (=9) doch eigentlich 9! - Anordnungen zulassen müssten...)

        
Bezug
Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Fr 28.03.2008
Autor: MathePower

Hallo el_grecco,

> In einer Zuckerfabrik wird der Zucker in Packungen zu 10 g,
> 250 g, 500 g, 1 kg und 2,5 kg abgefüllt. Nun soll das ganze
> Sortiment in einem Schaukasten in einer Reihe ausgestellt
> werden, und zwar ein 2,5-kg-Paket und je zwei Pakete der
> übrigen Größen.
>  
> a) Auf wie viele verschiedene Arten ist das möglich? (5
> BE)

>  Hallo!
>  Obige Aufgabe stammt aus dem Jahre 1986, Leistungskurs
> Mathematik, Bayern.
>  Die Lösung:
>  
> [mm]\bruch{9!}{2!^{4}}[/mm] = 22680
>  
> Meine Frage: Weshalb ist das Ergebnis nicht 9! = 362880?
>  (Dumme Frage: weil es falsch ist... Aber das Ergebnis
> leuchtet mir deshalb nicht ein, weil die Anzahl der Pakete
> (=9) doch eigentlich 9! - Anordnungen zulassen müssten...)

Weil es sich nicht um 9 verschiedene Pakete (unterschiedliche Packungsgrößen) handelt.

Gruß
MathePower


Bezug
        
Bezug
Kombinatorik: Permutation
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Fr 28.03.2008
Autor: Infinit

Hallo el_grecco,
die Antwort von Mathepower ist zwar formal richtig, hilft Dir aber sicher nicht beim Verstehen der Lösung. Das Schlagwort hier heisst "Permutation mit Wiederholung". Die Frage ist doch, wieviele Möglichkeiten es gibt, sogenannte Tupel zu bilden, die aus einem großen Zuckerpaket und acht weiteren bestehen, von denen je 2 gleich sind.
Hierfür gibt es einen Ausdruck
$$ [mm] \bruch{k!}{i_1! i_2!..... i_p!}\, [/mm] , $$ wobei [mm] i_n [/mm] angibt, wie oft ein bestimmtes Element aus diesen k Elementen auftritt. Nimmst Du [mm] i_1 [/mm] für das große Zuckerpaket und [mm] i_2 ... i_5 [/mm] für die vier weiteren Pakete, so ergibt dies
$$ [mm] \bruch{9!}{1! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} [/mm] $$ und dies ist genau Dein Ergebnis.
Viele Grüße,
Infinit

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