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| Aufgabe 1 | An einer Schule werden 5 Sportkurse mit je verschiedenen Sportarten angeboten. 7 neue Schüler müsseb sich jeweils für einen von diesen entscheiden.
a) Wieviele Verteilungsmöglichkeiten gibt es dafür? |
| Aufgabe 2 | | b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn an jedem Kurs mindestens einer der Neuen teilnehmen soll? |
| Aufgabe 3 | | c) Es kommen drei Brüder neu auf die Schule, die sich ständig streiten und prügeln. Deswegen müssen sie unbedingt in verschiedene Sportkurse eingetragen werden. Wieviele Verteilungsmöglichkeiten gibt es für die drei? |
Hallo zusammen,
ich möchte die obigen Aufgaben mit dem Bälle-/Urnen-Modell lösen und treffe dabei auf einige Schwierigkeiten.
zu a) 5 Sportkurse; 7 Schüler müssen sich jeweils für einen von diesen entscheiden.
Erster Ansatz
5 Sportkurse=5 Urnen, unterscheidbar=m
7 Schüler=7 Bälle, unterscheidbar=n
Das ganze ist ein injektives Zählproblem, da ohne Zurücklegen gezogen wird, da sich die Schüler jeweils für einen Sportkurs entscheiden.
Das würde bedeuten, dass die Anzahl der [mm] Möglichkeiten=m^{\underline{n}}=5{^\underline{7}}. [/mm] Das geht aber nicht, da m [mm] \le [/mm] n ist.
Zweiter Ansatz
Schüler 1 hat 5 Möglichkeiten sich zu entscheiden, Schüler 2-7 ebenfalls, also gilt für die Anzahl der Möglichkeiten [mm] 5^7=78.125
[/mm]
Das heißt, der injektive Ansatz oben war völliger Quatsch? Oder habe ich hier einen Denkfehler?
zu b) Hier gilt Surjektivität, da an jedem Kurs min. einer der neuen teilnehmen muss, d.h. es gilt für die Anzahl der Möglichkeiten (nach obigen Ansatz ohne Injektivität): [mm] m!S_{n,m}=5!S_{7,5}=120*175=21.000
[/mm]
Ist das soweit in Ordnung?
zu c) 5 Sportkuse (=5 Urnen)=m), 3 Brüder (=3 Bälle=n) ; alle beide unterscheidbar
Müssen in verschiedene Sportkurse eingetragen werden, also gilt hier auf jeden Fall Inektivität: 3 unterschiedliche Brüder müsse auf 5 unterschiedliche Sportkurse verteilt werden,
also: Anzahl der Möglichkeiten: [mm] 5^{\underline{3}}=5*4*3=60
[/mm]
Soweit in Ordnung?
Beste Grüße
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Hallo RUBStudent,
fast richtig.
> An einer Schule werden 5 Sportkurse mit je verschiedenen
> Sportarten angeboten. 7 neue Schüler müsseb sich jeweils
> für einen von diesen entscheiden.
> a) Wieviele Verteilungsmöglichkeiten gibt es dafür?
> b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, wenn an jedem Kurs
> mindestens einer der Neuen teilnehmen soll?
> c) Es kommen drei Brüder neu auf die Schule, die sich
> ständig streiten und prügeln. Deswegen müssen sie
> unbedingt in verschiedene Sportkurse eingetragen werden.
> Wieviele Verteilungsmöglichkeiten gibt es für die drei?
> Hallo zusammen,
>
> ich möchte die obigen Aufgaben mit dem
> Bälle-/Urnen-Modell lösen und treffe dabei auf einige
> Schwierigkeiten.
>
> zu a) 5 Sportkurse; 7 Schüler müssen sich jeweils für
> einen von diesen entscheiden.
> Erster Ansatz
> 5 Sportkurse=5 Urnen, unterscheidbar=m
> 7 Schüler=7 Bälle, unterscheidbar=n
> Das ganze ist ein injektives Zählproblem, da ohne
> Zurücklegen gezogen wird, da sich die Schüler jeweils
> für einen Sportkurs entscheiden.
> Das würde bedeuten, dass die Anzahl der
> [mm]Möglichkeiten=m^{\underline{n}}=5{^\underline{7}}.[/mm] Das
> geht aber nicht, da m [mm]\le[/mm] n ist.
Und wieso geht das dann nicht? Wenn 229 Schüler neu kommen, sind es eben [mm] 5^{229} [/mm] Möglichkeiten, obwohl ich den Eindruck habe, dass die Kursgrößen das Richtmaß allzu deutlich überschreiten werden... 
> Zweiter Ansatz
> Schüler 1 hat 5 Möglichkeiten sich zu entscheiden,
> Schüler 2-7 ebenfalls, also gilt für die Anzahl der
> Möglichkeiten [mm]5^7=78.125[/mm]
> Das heißt, der injektive Ansatz oben war völliger
> Quatsch? Oder habe ich hier einen Denkfehler?
Das ist doch das gleiche Ergebnis! Und es ist richtig.
> zu b) Hier gilt Surjektivität, da an jedem Kurs min. einer
> der neuen teilnehmen muss, d.h. es gilt für die Anzahl der
> Möglichkeiten (nach obigen Ansatz ohne Injektivität):
> [mm]m!S_{n,m}=5!S_{7,5}=120*175=21.000[/mm]
>
> Ist das soweit in Ordnung?
Wie habt ihr denn [mm] S_{i,j} [/mm] definiert?
Richtig ist, dass es [mm] \vektor{5\\2}*\vektor{7\\2}*\vektor{5\\2}*3!=6300 [/mm] Möglichkeiten gibt.
> zu c) 5 Sportkuse (=5 Urnen)=m), 3 Brüder (=3 Bälle=n) ;
> alle beide unterscheidbar
> Müssen in verschiedene Sportkurse eingetragen werden,
> also gilt hier auf jeden Fall Inektivität: 3
> unterschiedliche Brüder müsse auf 5 unterschiedliche
> Sportkurse verteilt werden,
>
> also: Anzahl der Möglichkeiten:
> [mm]5^{\underline{3}}=5*4*3=60[/mm]
> Soweit in Ordnung?
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beste Grüße
Grüße
reverend
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