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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Do 25.08.2005 | | Autor: | massimo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(obs jemand anders gemacht hat, kA. Search-function is down)
Hi Leute,
ich haette eine recht 'simple' Frage zum Poker und hoffe, dass mir jemand helfen kann. Beim Poker werden zufaellig 5 Karten aus einem vorher gut durchmischten Stapel gezogen (benutzt wird ein franz. Blatt mit 52 Karten).
Mich interessiert die Wahrscheinlichkeit genau eines Paerchens, also z.B.
Karo 7, Herz Dame, Herz 3, Pik 7 -> zwei mal 7
Wir haben 13 verschiedene Raenge/Rangtypen (2 bis As). Dadurch ergibts sich:
1. Rechenweg:
Wir wissen, dass genau zwei Karten den gleichen Rang haben muessen, nicht aber die Farbe. Folglich ergeben sich 13 * (4 ueber 2) Kombinationen für das Pärchen. Die restlichen 3 Karten muessen unterschiedlichen Ranges sein, die Farbe ist irrelevant. Das heisst:
13 * (4 ueber 2) * (12 ueber 3) * [mm] 4^3 [/mm] = 1098240
2. Rechenweg:
Wir ziehen 4 unterschiedliche Karten, bei denen die Farbe irrelevant ist, dannach haben wir die Moeglichkeit mit dem letzten Ziehen auf das Paerchen zu kommen (indem der Rang identisch mit einer der ersten vier Karten ist):
(13 ueber 4) * [mm] (4^4) [/mm] * 4 * (4 - 1) =
(13 ueber 4) * [mm] (4^4) [/mm] * 12 = 2196480
(das Doppelte des 1. Ergebnisses).
Anm.: 4 * (4 - 1) heisst, dass der Spieler zwischen 4 verschiedenen Raengen und 3 verschiedenen Farben (nicht 4, weil diese bereits durch die ersten vier Karten belegt sind) zu waehlen hat.
Waer cool, wenn mir jemand sagen koennte, wo der Fehler ist ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Do 25.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo massimo!
Ich zweiten Fall musst du noch durch $2$ teilen, weil du jedes Kartenblatt doppelt zählst.
Ich mache es dir mal an einem Beispiel vor:
Zu den ${13 [mm] \choose [/mm] 4} [mm] \cdot 4^4$ [/mm] Elementen gehört zum Beispiel das 4er-Blatt:
Herz Bube, Karo König, Pik Dame, Kreuz As.
Jetzt kann eines der $4 [mm] \cdot [/mm] (4-1)$ Elemente etwa Pik As sein. Dann hast du das Quintupel:
(Herz Bube, Karo König, Pik Dame, Kreuz As, Pik As).
Andererseits gehört zu den ${13 [mm] \choose [/mm] 4} [mm] \cdot 4^4$ [/mm] Elementen das 4er-Blatt:
Herz Bube, Karo König, Pik Dame, Pik As.
Jetzt kann eines der $4 [mm] \cdot [/mm] (4-1)$ Elemente etwa Kreuz As sein. Dann hast du das Quintupel:
(Herz Bube, Karo König, Pik Dame, Pik As, Kreuz As).
Die stimmt aber -da es nicht auf die Reihenfolge ankommt- mit dem obigen 5er-Blatt überein. Es wurde aber zweimal gezählt. Das gilt für jedes dieser Karten. Wir haben also jedes Blatt zweimal gezählt.
Die erste Lösung somit ist die richtige. Der zweite Ansatz ist auch richtig, nur muss man am Schluss durch 2 teilen, weil man eben alles doppelt gezählt hat.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:18 Do 25.08.2005 | | Autor: | massimo |
Tausend Dank Julius!
nach einigem Hinschauen hab ichs verstandan (das Beispiel war a klein weng verwirrend, weil ich mich am Anfang dran gestoert hab, dass das 5er-Tupel (Herz Bube, Karo König, Pik Dame, Kreuz As, Kreuz 2) kein Paerchen ist - aber die Erklärung mit den Permutationen haengt ja nicht davon ab).
ich haet da noch ne weiterführende Frage. Angenommen ich erweitere die Formel wie folgt:
P(Z = i) = [mm] \vektor{13 - i \\ 4 - i} [/mm] * [mm] 4^{4 - i} [/mm] * 6
Sprich, die Formel berechnet die Anzahl der Kombinationen fuer Paerchen, wenn bereits i viele Karten ungleichen Ranges auf dem Tisch liegen.
Dann gilt P(Z = 4) = 6. Das kann offensichtlich nicht richtig sein, da ich ja noch 12 Karten habe, die einen gleichen Rang haben - würde formelmaessig auch Sinn machen, da die Permutationen nur dann Geltung haben koennen, wenn ich mehr als eine Karte zu ziehen habe.
Fazit: Die oben stehen Formel gilt für 0 <= i <= 3. Hab ich des richtig gerafft? :)
nochmal Danke für die Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Fr 26.08.2005 | | Autor: | massimo |
Wir haben die folgende Formel mit 0 <= i <= 3 gegeben:
k = $ [mm] \vektor{13 - i \\ 4 - i} [/mm] $ * $ [mm] 4^{4 - i} [/mm] $ * 6
Dabei gibt i die Anzahl der bereits bekannten/aufgedeckten Karten aus den insgesamt 5 gezogenen Karten an. D.h. im einzelnen:
i = 0: Bedeutet, dass wir 5 Karten aus dem Stapel ziehen und sie aufeinmal aufdecken. Die Formel gibt dann die Anzahl der moeglichen Paerchen an.
i = 1: Bedeutet, dass wir 5 Karten aus dem Stapel ziehen, eine Karte aufdecken und mit dieser Information - bedingte Wahrscheinlichkeit wenn man so will - dann die Anzahl der moegliche Paerchen bestimmen.
i = 2: ...
i = 3: ...
Dabei gibt i selbsverständlich die Anzahl der Karten ungleichen Ranges an (sonst haette wir ja schon mindestens ein Paerchen ;)
Was auffaelt bei dieser Formel ist, dass bei i = 4 (4 nicht im Definitionsbereich) wir 6 Kombinationen bekommen - was ja nicht stimmen kann, weil das Argument mit den Permutationen nicht mehr gilt (wir haben ein 1er-Tupel -> wir muessen nicht mehr durch 2 teilen -> 2 * 6 = 12 -> richtiges Ergebnis))
Formelmaessig scheint alles richtig zu sein, etwas macht mich aber stutzig. Rechnet man naemlich die Wahrscheinlichkeit nach
p(i) = ( [mm] \vektor{13 - i \\ 4 - i} [/mm] * [mm] 4^{4 - i} [/mm] * 6 ) \ [mm] \vektor{52 - i \\ 5 - i}
[/mm]
aus, ergibt sich folgendes Bild:
i = 0 -> p = 0,42
i = 1 -> p = 0,34
i = 2 -> p = 0,27
i = 3 -> p = 0,20
i = 4 -> p = (2 * 6) / 48 = 0,25
p(3) < p(4) ? Irgendiwe ist es mir anschaulich nicht klar :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 So 28.08.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Massimo!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht (vollständig) in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
, ich habe es jetzt verbessert (du kannst es dir ja noch einmal anschauen). Die Argumentation bleibt aber die Gleiche, klar.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
