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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 So 06.03.2005 | | Autor: | Janis |
Guten Morgen zum 3. 
ich schreibe morgen eine Matheklausur in der auch Kombinatorik ein zu behandelndes Thema sein wird. Ich habe nun einige Aufgaben dazu durchgerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob meine Lösungen richtig sind. Da in den Forenregeln steht, dass man für jede neue Frage einen neuen Diskussionsstrang beginnen soll, habe ich mich bemüht die Aufgaben thematisch zu sortieren.
Ich habe noch ein paar gemischte Aufgaben, die ich keinem Gebiet der Kombinatorik direkt zuordnen konnte:
Aufgabe 1:
Unter 6 Schülern werden 4 Eintrittskarten verlost. Diese vier Schüler werden auf 10 freie Plätze verteilt. Auf wie viele Arten geht das ?
Lösung(?):
Ich habe mir dazu überlegt, dass erstmal eine ungeordente Stichprobe ohne zurücklegen genommen wird und dann nocheinmal eine geordnete ebenfalls ohne zurücklegen. Mit diesem Ansatz komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] m = {6 \choose 4}* \bruch{10!}{6!} [/mm]
Aufgabe 2:
Um einen runden Tisch mit 8 Plätzen sollen sich 5 Frauen und 3 Männer setzen. Zur Auswahl stehen jedoch 8 Frauen und 7 Männer bereit. Berechne die Anzahl der Möglichkeiten.
Lösung(?):
Die Aufgabe ist relativ ähnlich zur Aufgabe 1: Zuerst zieht man aus den 8 Frauen 5 und aus den 7 Männern 3, dann verteilt man sie auf die 8 Plätze:
[mm] m = {8 \choose 5}*{7 \choose 3}* \bruch{8!}{5!*3!} [/mm]
Aufgabe 3:
Ein Ausschuss aus 3 Männern und 4 Frauen wählt aus ihrer Mitte einen
Vorsitzenden und einen Stellvertreter. Wie viele Möglichkeiten gibt es
a) insgesamt,
b) wenn beide gleichen Geschlechts sind,
c) wenn mindestens eine Frau dabei sein soll ?
Lösung(?):
a) Lösung nach dem Prinzip bei geordneter Stichprobe ohne zurücklegen:[mm] m = \bruch{7!}{5!} [/mm]
b) Man addiert die Möglichkeiten, wenn man nur aus den Frauen zieht mit denen, wenn man nur aus den Männern zieht:
[mm] m = \bruch{4!}{2!} + \bruch{3!}{1!}[/mm]
c) ???
Aufgabe 4:
Fünf Briefe werden zufällig in fünf adressierte Umschläge gesteckt. Wie groß istdie Wahrscheinlichkeit, dass
a) genau ein Brief
b) genau zwei Briefe
c) genau drei Briefe
d) vier Briefe
e) nicht alle Briefe
ihren Adressaten erreichen ?
Aufgabe 5:
In Sikinien gibt es einen Park, in dem drei braune und zwei rote Eichhörnchen
leben. Ihnen stehen zum Sonnenbaden 8 verschiedene Bäume zur Verfügung.
Jedes Eichhörnchen wählt sich seinen Baum zufällig aus.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese 5 Eichhörnchen auf die 8 Bäume
zu verteilen ?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf keinem Baum mehr als ein
Eichhörnchen liegt ?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E: Ein rotes und zwei
braune Eichhörnchen sonnen sich gemeinsam auf einem Baum, während
die anderen je einen Baum für sich haben ?
Mit diesen beiden Aufgaben komme ich gar nicht klar. Es wäre nett, wenn mir jemand diese erklären könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Guten Morgen zum 3.
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> ich schreibe morgen eine Matheklausur in der auch
> Kombinatorik ein zu behandelndes Thema sein wird. Ich habe
> nun einige Aufgaben dazu durchgerechnet, bin mir aber nicht
> sicher, ob meine Lösungen richtig sind. Da in den
> Forenregeln steht, dass man für jede neue Frage einen neuen
> Diskussionsstrang beginnen soll, habe ich mich bemüht die
> Aufgaben thematisch zu sortieren.
>
> Ich habe noch ein paar gemischte Aufgaben, die ich keinem
> Gebiet der Kombinatorik direkt zuordnen konnte:
>
> Aufgabe 1:
> Unter 6 Schülern werden 4 Eintrittskarten verlost. Diese
> vier Schüler werden auf 10 freie Plätze verteilt. Auf wie
> viele Arten geht das ?
>
> Lösung(?):
> Ich habe mir dazu überlegt, dass erstmal eine ungeordente
> Stichprobe ohne zurücklegen genommen wird und dann
> nocheinmal eine geordnete ebenfalls ohne zurücklegen. Mit
> diesem Ansatz komme ich auf folgendes Ergebnis:
>
> [mm]m = {6 \choose 4}* \bruch{10!}{6!}[/mm]
klingt gut, hätt ich auch so gelöst ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aufgabe 2:
> Um einen runden Tisch mit 8 Plätzen sollen sich 5 Frauen
> und 3 Männer setzen. Zur Auswahl stehen jedoch 8 Frauen und
> 7 Männer bereit. Berechne die Anzahl der Möglichkeiten.
>
> Lösung(?):
> Die Aufgabe ist relativ ähnlich zur Aufgabe 1: Zuerst
> zieht man aus den 8 Frauen 5 und aus den 7 Männern 3, dann
> verteilt man sie auf die 8 Plätze:
>
> [mm]m = {8 \choose 5}*{7 \choose 3}* \bruch{8!}{5!*3!}[/mm]
>
ja,aber der Trick besteht in dem runden Tisch, bei einer Anordnung auf einer Bank hättest du richtig gerechnet, an einem runden Tisch gibt es aber nur (n-1)! Möglichkeiten n Dinge anzuordnen....
> Aufgabe 3:
> Ein Ausschuss aus 3 Männern und 4 Frauen wählt aus ihrer
> Mitte einen
> Vorsitzenden und einen Stellvertreter. Wie viele
> Möglichkeiten gibt es
> a) insgesamt,
> b) wenn beide gleichen Geschlechts sind,
> c) wenn mindestens eine Frau dabei sein soll ?
>
> Lösung(?):
> a) Lösung nach dem Prinzip bei geordneter Stichprobe ohne
> zurücklegen:[mm] m = \bruch{7!}{5!}[/mm]
> b) Man addiert die
> Möglichkeiten, wenn man nur aus den Frauen zieht mit denen,
> wenn man nur aus den Männern zieht:
> [mm]m = \bruch{4!}{2!} + \bruch{3!}{1!}[/mm]
> c) ???
>Tipp: 1-P(keine Frau), Rest selbst....
> Aufgabe 4:
> Fünf Briefe werden zufällig in fünf adressierte Umschläge
> gesteckt. Wie groß istdie Wahrscheinlichkeit, dass
> a) genau ein Brief
> b) genau zwei Briefe
> c) genau drei Briefe
> d) vier Briefe
> e) nicht alle Briefe
> ihren Adressaten erreichen ?
es gibt 5! Möglichkeiten der Kuvertierung
wenn 1 Brief richtig kuvertiert ist, müssen also vier falsch sein
d.h. der zweite Brief kann in drei Umschlägen landen (der vierte wäre ja der richtige), der dritte nur noch in zweien usw..., also gibt es 4! Möglichkeiten und
[mm] p(A)=\bruch{4!}{5}
[/mm]
mit der gleichen Überlegung erhälst du für b)
[mm] P(B)=\bruch{3!}{5!}
[/mm]
[mm] P(C)=\bruch{2!}{5!}
[/mm]
[mm] P(D)=\bruch{1!}{5!}
[/mm]
übrigens ist die Wahrscheinlichkeit füt vier und 5 Briefe gleich, weil wenn vier richtig kuvertiert sind, ist der 5. automatisch auch richtig !!
das ergebe sich auch rechnerisch, weil [mm] \bruch{1!}{5!}=\bruch{0!}{5!}
[/mm]
P(E)=1-P(D) wegen eben angestellter Überlegung!
> Aufgabe 5:
> In Sikinien gibt es einen Park, in dem drei braune und zwei
> rote Eichhörnchen
> leben. Ihnen stehen zum Sonnenbaden 8 verschiedene Bäume
> zur Verfügung.
> Jedes Eichhörnchen wählt sich seinen Baum zufällig aus.
> a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese 5 Eichhörnchen
> auf die 8 Bäume
> zu verteilen ?
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf keinem
> Baum mehr als ein
> Eichhörnchen liegt ?
> c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E:
> Ein rotes und zwei
> braune Eichhörnchen sonnen sich gemeinsam auf einem Baum,
> während
> die anderen je einen Baum für sich haben ?
>
> Mit diesen beiden Aufgaben komme ich gar nicht klar. Es
> wäre nett, wenn mir jemand diese erklären könnte.
>
auch hier ein paar tipps:
wieviel Möglichkeiten hat jedes Eichhörnchen? 8
also [mm] 8^5 [/mm] Möglichkeiten
wenn jeder Baum nur mit einem Eichhörnchen besetzt werden darf: [mm] 8*7*6*5*4=\bruch{8!}{3!}, [/mm] also [mm] P=\bruch{\bruch{8!}{3!}}{8^5}
[/mm]
c) die drei Eichhörnchen haben 8 Möglichkeiten den Baum auszususchen, die andern beiden 7*6, also insgesamt 8*7*6 Möglichkeiten
[mm] P=\bruch{8*7*6}{8^5}
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
OLIVER
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 So 06.03.2005 | | Autor: | Janis |
Super! Vielen Dank!
Die noch offenstehenden Lösungen müssten dann ja sein:
Für Aufgabe 2:
[mm]m = {8 \choose 5}*{7 \choose 3}* \bruch{7!}{5!*3!}[/mm]
Und für Aufgabe 3:
Das Gegenereignis "keine Frau" entspricht ja "2 Männern" (6 Möglichkeiten). Nun muss man noch diese 6 von allen möglichen Fällen abziehen und erhält dann das gesuchte Ergebnis:
[mm]m = \bruch{7!}{5!} - \bruch{3!}{1!} = 36[/mm]
Bitte um Antwort, falls doch noch etwas falsch sein sollte...
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> Super! Vielen Dank!
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> Die noch offenstehenden Lösungen müssten dann ja sein:
>
> Für Aufgabe 2:
>
> [mm]m = {8 \choose 5}*{7 \choose 3}* \bruch{7!}{5!*3!}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") nicht ganz, du darfst nur n-1 Personen verteilen, überleg dir mal den Nenner
> Und für Aufgabe 3:
>
> Das Gegenereignis "keine Frau" entspricht ja "2 Männern" (6
> Möglichkeiten). Nun muss man noch diese 6 von allen
> möglichen Fällen abziehen und erhält dann das gesuchte
> Ergebnis:
> [mm]m = \bruch{7!}{5!} - \bruch{3!}{1!} = 36[/mm]
> Bitte um Antwort, falls doch noch etwas falsch sein
> sollte...
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