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Forum "Lineare Abbildungen" - Kommutative Gruppe zeigen
Kommutative Gruppe zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kommutative Gruppe zeigen: Beweis Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 So 02.11.2008
Autor: mathenully

Aufgabe
Sei G eine Gruppe mit g*g = e für alle g Element G.
Zeigen Sie : G it kommutativ

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hi,

ich habe ein Ansatzproblem bei oben stehender Aufgabe. Muss ich wirklich nur die Kommutativität nachweisen?

kann man sagen

[mm] (g^2+e) [/mm] = [mm] (e+g^2) [/mm]

ist das der Ansatz? und wie beweis ich ihn!

Schon mal Vielen Dank für Tips!!!

        
Bezug
Kommutative Gruppe zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 So 02.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo mathenully und herzlich [willkommenmr],

> Sei G eine Gruppe mit g*g = e für alle g Element G.
>  Zeigen Sie : G it kommutativ
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi,
>  
> ich habe ein Ansatzproblem bei oben stehender Aufgabe. Muss
> ich wirklich nur die Kommutativität nachweisen?
>
> kann man sagen
>  
> [mm](g^2+e)[/mm] = [mm](e+g^2)[/mm]

Was ist denn nun + für eine Verknüpfung? Du meinst [mm] $\star$, [/mm] oder?

Aber selbst wenn, steht doch da nur [mm] $g^2=g^2$, [/mm] was offensichtlich gilt ;-)

>  
> ist das der Ansatz? und wie beweis ich ihn!

Nein, ist er nicht, was bedeutet denn Kommutativität?

Du schnappst dir 2 beliebige Elemente [mm] $g,h\in [/mm] G$ und musst zeigen, dass [mm] $g\star h=h\star [/mm] g$ ist

Ich gebe dir nen Ansatz: Mit $g,h [mm] \in [/mm] G$ ist wegen der Abgeschlossenheit auch [mm] $g\star [/mm] h [mm] \in [/mm] G$

Mit der gegebenen Vor. ist also [mm] $(g\star h)^2=\red{(g\star h)\star(g\star h)=e}$ [/mm]

Hier musst du nun nur ein bisschen die Assoziativität ausnutzen und ein wenig umformen, von beiden Seiten passende Elemente dranmultiplizieren, so dass du am Schluss [mm] $g\star h=h\star [/mm] g$ dastehen hast

>  
> Schon mal Vielen Dank für Tips!!!


LG

schachuzipus

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