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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:23 Di 24.07.2012 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Kommutator der Vektorfelder X=(cosu, cosv) und Y=(sinu, sinv). Gibt es lokale Koordinaten, so dass X und Y die Koordinatenvektorfelder sind? |
Hallo,
könnt ihr bitte kurz drüber schauen, ob das so richtig ist?
Kommutator: [X,Y]=dY(X)-dX(Y)
dX= [mm] \pmat{-sinu & 0 \\ 0 & sinv}
[/mm]
dY= [mm] \pmat{cosu & 0 \\ 0 & cosv}
[/mm]
[X,Y]=dY(X)-dX(Y) = [mm] \pmat{cosu & 0 \\ 0 & cosv} \pmat{cosu \\ cosv} [/mm] - [mm] \pmat{-sinu & 0 \\ 0 & sinv} \pmat{sinu \\ sinv} [/mm] = [mm] \pmat{cos^2 u \\ cos^2 v} [/mm] - [mm] \pmat{-sin^2 u \\ - sin^2 v}= \pmat{cos^2 u + sin^2 u \\ cos^2v + sin^2 v} [/mm] = [mm] \pmat{1\\1}.
[/mm]
Der Kommutator der Vektorfelder ist [mm] [X,Y]=\pmat{1\\1}.
[/mm]
Wie kann ich nun zeigen, ob es lokale Koordinaten gibt, so dass X und Y die Koordinatenvektorfelder sind?
Danke und Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Do 26.07.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Berechnen Sie den Kommutator der Vektorfelder X=(cosu,
> cosv) und Y=(sinu, sinv). Gibt es lokale Koordinaten, so
> dass X und Y die Koordinatenvektorfelder sind?
> Hallo,
>
> könnt ihr bitte kurz drüber schauen, ob das so richtig
> ist?
>
> Kommutator: [X,Y]=dY(X)-dX(Y)
>
> dX= [mm]\pmat{-sinu & 0 \\ 0 & sinv}[/mm]
Vorzeichen vergessen:
dX= [mm]\pmat{-sinu & 0 \\ 0 & -sinv}[/mm]
>
> dY= [mm]\pmat{cosu & 0 \\ 0 & cosv}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [X,Y]=dY(X)-dX(Y) = [mm]\pmat{cosu & 0 \\ 0 & cosv} \pmat{cosu \\ cosv}[/mm]
> - [mm]\pmat{-sinu & 0 \\ 0 & sinv} \pmat{sinu \\ sinv}[/mm] =
> [mm]\pmat{cos^2 u \\ cos^2 v}[/mm] - [mm]\pmat{-sin^2 u \\ - sin^2 v}= \pmat{cos^2 u + sin^2 u \\ cos^2v + sin^2 v}[/mm]
> = [mm]\pmat{1\\1}.[/mm]
vergessenes Vorzeigen beim Weiterrechnen wieder berücksichtigt:
[X,Y]=dY(X)-dX(Y) = [mm]\pmat{cosu & 0 \\ 0 & cosv} \pmat{cosu \\ cosv}[/mm]
- [mm]\pmat{-sinu & 0 \\ 0 & -sinv} \pmat{sinu \\ sinv}[/mm] =
[mm]\pmat{cos^2 u \\ cos^2 v}[/mm] - [mm]\pmat{-sin^2 u \\ - sin^2 v}= \pmat{cos^2 u + sin^2 u \\ cos^2v + sin^2 v}[/mm]
= [mm]\pmat{1\\1}.[/mm]
>
> Der Kommutator der Vektorfelder ist [mm][X,Y]=\pmat{1\\1}.[/mm]
>
> Wie kann ich nun zeigen, ob es lokale Koordinaten gibt, so
> dass X und Y die Koordinatenvektorfelder sind?
>
> Danke und Grüße!
Gruß
meili
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Ich würde gerne diesen Post wieder ins Leben rufen. Gibt es denn lokale Koordinaten, so das X und Y die Koordinatenvektorfelder sind?
Es muss ja welche geben. Es gibt ja nur keine, wenn der Kommutator [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Aber meine Frage ist jetzt, mit welchem Ansatz, bekomme ich das raus?
Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 01.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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