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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Klein’sche Vierergruppe [mm] V_4 [/mm] isomorph zur Kommutatorengruppe [mm] [A_4,A_4] [/mm] der alternierenden
Gruppe [mm] A_4 [/mm] ist. |
Meine Idee ist:
Ich berechne die 4 Kommutatoren in [mm] A_4.
[/mm]
(123)(132)(123)(132) = id
(123)(124)(132)(142) = (12)(34)
(123)(142)(132)(124) = (14)(23)
(123)(12)(34)(132)(12)(24)= (13)(24)
Es ergeben sich also alle Elemente der [mm] V_4.
[/mm]
Damit weiß ich schonmal, dass [mm] V_4 \subseteq [A_4,A_4].
[/mm]
Mit dem Satz von Lagrange weiß ich weiterhin, dass
die Ordnung von nur 1,2,3,4,6 oder 12 sein kann,
da [mm] [A_4,A_4] [/mm] eine UG von [mm] A_4 [/mm] (insbesondere ein Normalteiler) ist.
Ordnung 1-3 kann ich ausschließen, da [mm] [A_4,A_4] [/mm] schon mindestens
4 Elemente hat.
Ordnung 6 kann ich auch auschließen, da durch hinzunehemen eines
weiteren Elementes aus [mm] A_4\backslash V_4 [/mm] ganz [mm] A_4 [/mm] erzeugt wird.
Bleibt also nur noch auszuschließen, dass [mm] |[A_4,A_4]| [/mm] =12 bzw.
[mm] [A_4,A_4] [/mm] = [mm] A_4 [/mm]
[mm] (A_4 [/mm] also eine perfekte Gruppe ist).
Hier weiß ich nicht wirklich, wie ich vorgehen soll.
Wäre nett, wenn mir jmd. weiterhelfen könnte.
Mfg
ConstantinJ
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Zeige die universelle Eigenschaft der Abelisierung: Ist $ [mm] G\xrightarrow{\ \ f\ \ } [/mm] A $ ein Homomorphismus in eine kommutative Gruppe, so existiert genau ein Homomorphismus $ G/[G, [mm] G]\xrightarrow{\ \ f'\ \ } [/mm] A $, sodass $ [mm] f'\circ\pi=f [/mm] $, wobei $ [mm] G\xrightarrow [/mm] {\ \ [mm] \pi\ [/mm] \ } G/[G, G] $ die kanonische Projektion ist. In anderen Worten, die Abbildung [mm] $\operatorname [/mm] {Hom}( [G, G], [mm] A)\longrightarrow\operatorname [/mm] {Hom}(G, A) $, $ [mm] x\longmapsto x\circ\pi [/mm] $ ist bikektiv.
Zeige, dass $ [mm] A_4/V_4$ [/mm] kommutativ ist (du kannst einen Erzeuger angeben und so zeigen, dass die Gruppe sogar zyklisch ist). Hierin wird die (rechnerische) Hauptaufgabe bestehen.
Wenn wir jetzt annehmen, es wäre $ [mm] A_4/[A_4, A_4] [/mm] $ trivial, dann müsste es einen Homomorphismus $ [mm] A_4/ [A_4, A_4]\xrightarrow [/mm] {\ \ f'\ \ } [mm] A_4/V_4$ [/mm] geben mit $ [mm] f'\circ\pi=f [/mm] $, wobei [mm] $\pi [/mm] $ die Projektion auf $ [mm] A_4/[A_4, A_4] [/mm] $ bezeichnet und $ f $ die Projektion auf $ [mm] A_4/V_4$, [/mm] was natürlich nicht funktioniert, da $ f $ surkektiv ist $ f'$ jedoch keinesfalls.
Beachte, dass der 1. und der 3. Abschnitt allgemeine Techniken bereit stellt, die immer funktionieren, und dass nur der 2. Abschnitt etwas mit der alternierenden Gruppe zu tun hat.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hi,
danke für die Antwort UniversellesObjekt.
Ich verstehe deine Antwort aber nur halb.
Gibt es in diesem speziellen Fall keinen einfacheren Weg zu zeigen,
dass [mm] [A_4, A_4] [/mm] = [mm] A_4 [/mm] nicht sein kann?
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Die gibt es sicherlich, und jemand, dem rechnerische Lösungen mehr liegen als mir, wird dir bestimmt noch einen Weg aufzeichnen, der nicht mit den abstrakten Eigenschaften der Kommutatoruntergruppe argumentiert. Deswegen lasse ich die Frage halb offen.
Aber wenn du verrätst, welche Hälfte du nicht verstehst, führt vielleicht auch mein Weg zum Erfolg. Ich wende im Wesentlichen das Prinzip [mm] $[G,G]\subseteq N\iff G/N\text{ kommutativ}$ [/mm] für einen Normalteiler [mm] $N\trianglelefteq [/mm] G$ an, welches sehr nützlich ist, und das sich lohnt, allgemein gezeigt zu werden, und das hier zu der Erkenntnis [mm] $[A_4,A_4]\subseteq V_4$ [/mm] folgt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Ok, ich glaube ich habs jetzt.
Ich habe gerade gesehen, dass wir die universelle Eigenschaft der Kommutatorengruppe schon gezeigt haben.
Außerdem ergibt sich doch schon mit [mm] |A_4/V_A| [/mm] = 3, dass [mm] A_4/V_A
[/mm]
kommutativ ist, da es nur komm. Gruppen mit 3 Elementen gibt.
Wieterhin weiß ich, dass [mm] [A_4,A_4] [/mm] und [mm] V_4 [/mm] NT von [mm] A_4 [/mm] sind.
$ [mm] A_4/ [A_4, A_4]\xrightarrow [/mm] {\ \ f'\ \ } [mm] A_4/V_4 [/mm] $, dieses f' existiert und muss surektiv sein, da f surektiv ist. Dafür muss aber
[mm] |A_4/ [A_4, A_4]| \ge |A_4/V_4| [/mm]
also [mm] [A_4, A_4] \le |V_4|
[/mm]
Wie komme ich dann aber auf [mm] [A_4,A_4]\subseteq V_4 [/mm] ?
Liebe Grüße,
ConstantinJ
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> Ok, ich glaube ich habs jetzt.
>
> Ich habe gerade gesehen, dass wir die universelle
> Eigenschaft der Kommutatorengruppe schon gezeigt haben.
Sehr gut. Ich empfehle dir, so oft wie möglich hiermit zu arbeiten, denn diese Eigenschaft ist es, die die Kommutatorgruppe ausmacht, und man hat die Gruppe nur aus dem Grund so definiert, dass diese Eigenschaft am Ende gilt.
> Außerdem ergibt sich doch schon mit [mm]|A_4/V_A|[/mm] = 3, dass
> [mm]A_4/V_A[/mm]
> kommutativ ist, da es nur komm. Gruppen mit 3 Elementen
> gibt.
Stimmt, du hast Recht, dann ist es ja viel einfacher als ich dachte :-D Ich war der Meinung, die Ordnung sei 6, aber Kopfrechnen war nie meine Stärke...
> Wieterhin weiß ich, dass [mm][A_4,A_4][/mm] und [mm]V_4[/mm] NT von [mm]A_4[/mm]
> sind.
> [mm]A_4/ [A_4, A_4]\xrightarrow {\ \ f'\ \ } A_4/V_4 [/mm], dieses
> f' existiert und muss surektiv sein, da f surektiv ist.
> Dafür muss aber
> [mm]|A_4/ [A_4, A_4]| \ge |A_4/V_4|[/mm]
> also [mm][A_4, A_4] \le |V_4|[/mm]
>
>
> Wie komme ich dann aber auf [mm][A_4,A_4]\subseteq V_4[/mm] ?
Zunächst einmal bedenke, dass du ursprünglich nur zeigen wolltest, dass [mm] $[A_4, A_4]\not=A_4$, [/mm] und das hast du an dieser Stelle schon geschafft.
Aber natürlich ist es besser, direkt allgemein zu zeigen, dass $ [G, [mm] G]\subseteq N\iff G/N\text [/mm] { kommutativ} $. Für die Richtung [mm] $\implies [/mm] $ sei ein Normalteiler $ N $ gegeben mit $[G, [mm] G]\subseteq [/mm] N $. Wir wollen zeigen, dass $ G/N$ kommutativ, also $ [mm] xyN\subseteq [/mm] yxN $. Dafür multpliziere von links mit $ [mm] y^{-1} x^{-1}$. [/mm] Es genügt zu zeigen, $ [mm] y^{-1} x^{-1} yx\in [/mm] N $. Dieses Element ist aber ein Kommutator, und die Kommutatorgruppe ist in $ N $ enthalten, also sind wir schon fertig.
Umgekehrt sei $ G/N $ kommutativ. Wir wollen zeigen $ [G, [mm] G]\subseteq [/mm] N $. Sei $ [mm] xyx^{-1} y^{-1}\in [/mm] [G, G] $. Wegen Kommutativität von $ G/N$ gilt $ [mm] xyx^{-1} y^{-1} [/mm] N=$ [mm] xx^{-1} yy^{-1} [/mm] N=N $, also $ [mm] xyx^{-1} y^{-1}\in [/mm] N$ und damit sind wir fertig.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
>
> Liebe Grüße,
> ConstantinJ
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Danke für deine ausführliche Hilfe, UniversellesObjekt.
Ich habe den Beweis jetzt ohne [G, [mm] G]\subseteq N\iff G/N\text{ kommutativ} [/mm]
gemacht, habe mir deine Argumentation aber verinnerlicht
und finde es auch gut dieses Prinzip zu kennen.
Bei einer Sache bin ich aber noch stutzig geworden:
Gilt eigentlich Ord(G) = 3 [mm] \Rightarrow [/mm] G abelsch?
Grüße
ConstantinJ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Di 02.12.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja. Es gilt sogar [mm] $\text{Ord}(G)=3 \Rightarrow G\cong \IZ/3\IZ$, [/mm] d.h. $G$ ist zyklisch (und damit insbesondere abelsch).
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Ja, das gilt für beliebige Primzahlen. In einer Gruppe primer Ordnung wähle ein nichttriviales Element und überlege mit Lagrange, welche Ordnung die hierdurch erzeugte Untergruppe haben muss.
Liebe Grüße,
UniversellesOnjekt
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