Kommutatorgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 So 25.04.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und [mm] [a,b]=aba^{-1}b^{-1}. [/mm] Die Kommutatorgruppe ist wie folgt definiert: [mm] G'=<\{[a,b]|a,b\in G\}>
[/mm]
Zeige:
a) G' ist ein Normalteiler und G/G' ist abelsch.
b) Sei A eine abelsche Gruppe. [mm] \pi:G\to [/mm] G/G'; [mm] a\mapsto [/mm] aG'
Zu jedem Homomorphismus [mm] \phi [/mm] von G nach A existiert genau ein Homomorphismus [mm] \psi [/mm] von G/G' nach A, sodass [mm] \psi\circ \pi=\phi [/mm] |
Heyho
Also a) ist ja simples Nachrechnen, aber b) ist umso schwieriger...
Ich hoffe, dass die Eindeutigkeit von [mm] \psi [/mm] aus der Surjektivität von [mm] \pi [/mm] folgt (ist doch so, oder???)
Aber wie ist das mit der Existenz? Da hab ich so keine Idee, wie ich die nachweisen soll...
Kann man [mm] \psi [/mm] konkret angeben und nachweisen, dass es ein Homomorphismus ist? Irgendwo sollte auch eingehen, dass G/G' sowie A abelsch sind...
Grüße
icarus89
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 25.04.2010 | | Autor: | andreas |
hallo.
> Ich hoffe, dass die Eindeutigkeit von [mm]\psi[/mm] aus der
> Surjektivität von [mm]\pi[/mm] folgt (ist doch so, oder???)
> Aber wie ist das mit der Existenz? Da hab ich so keine
> Idee, wie ich die nachweisen soll...
> Kann man [mm]\psi[/mm] konkret angeben und nachweisen, dass es ein
> Homomorphismus ist? Irgendwo sollte auch eingehen, dass
> G/G' sowie A abelsch sind...
berechne mal [mm] $\phi([a,b])$ [/mm] für beliebige $a, b [mm] \in [/mm] G$. was sagt nun der homomorphiesatz?
grüße
andreas
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