Kompakt? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Wir betrachten den normierten Raum (C[0,1], [mm] \parallel \parallel_{sup}), [/mm] wobei [mm]\parallel f \parallel = \sup_{x \in [0,1]}|f(x)|[/mm] die Supremumsnorm sei. Zeige, dass in diesem normierten Raum die Menge [mm] B_{1}(0)=\{f \in C[0,1] | \parallel f \parallel_{sup} \le 1\} [/mm] (beschränkt und) abgeschlossen, nicht aber kompakt ist. |
hallo,
also der satz von heine-borel gilt ja für diesen normierten raum nicht.aber ein satz der funktionalanalysis besagt wohl, dass der satz von heine-borel genau dann in einem normierten vektorraum gilt, wenn dieser endlich-dimensional ist.
aber welcher denn? und wie soll ich das beweisen? kann mir einer helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 Do 22.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo Christine,
ich kenn mich nicht so wirklich in Funktionalanalysis aus, aber laut deinem Satz würd ich doch versuchen zu zeigen, dass der angegebene Raum nicht endlich-dimensional ist. Versuch mal zu zeigen, dass es zu JEDEM [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] eine linear unabhängige Menge [mm] $f_{1},\dots,f_{n}$ [/mm] von Funktionen (Elementen) in diesem Raum gibt. Anschaulich würd ich vermuten, dass sich das mit "Hütchen"-Funktionen machen lassen müsste.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße,
Jan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:00 Do 22.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
hier ein bildchen, damit du weißt, was ich mit hütchen-funktion meine ;)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Moin und hallo,
es empfiehlt sich allgemein, auch mal im Forum zu stöbern - via Stichwort-Suche oder so, denn wenn mich meine Erinnerung nicht täuscht,
gab es vor ganz kurzer Zeit schon einmal solch eine Frage, die auch beantwortet wurde.
Die Zackenfunktionen wurden ja schon im Strang definiert. Wir wollen eine offene Überdeckung von [mm] B_1(0) [/mm] mit Zackenfunktionen definieren,
die keine endliche Teilüberdeckung hat (die Abgeschlossenheit gilt, da die Menge Urbild einer abgeschlossenen Teilmenge des [mm] \IR [/mm]
unter der stetigen Normabbildung ist, und die Beschränktheit gilt nach Definition.
Sei [mm] f_{r,w} [/mm] eine Zackenfunktion mit Zackenspitze (y-Koor. 1) bei x-Koor. [mm] r\in [/mm] [0,1] und Weite des Zackens w (bzw Halbzacken im Falle r=0 bzw r=1).
Dann ist [mm] B_1(0)=\bigcup_{r\in [0,1],w>0\:\: geeignet} B_{1+w}(f_{r,w})\cup B_{1+w}(-f_{r,w}), [/mm]
und dies sollte eine offene Überdeckung ohne endliche Teilüberdeckung sein.
Gruss + viel Erfolg beim Ausarbeiten,
Mathias
|
|
|
|
