Kompakt Supremum ist Maximum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist A eine Teilmenge der reellen Zahlen und Kompakt, so sind ihr Supremum bzw. Infimum auch Maximum bzw. Minimum. |
Also ich hätte dazu eine idee. Da Kompaktheit in den reellen Zahlen bedeutet dass sie abgeschlossen und beschränkt sind ist schonmal klar dass aufgrund der Ordnungsvollständigkeit der reellen Zahlen ein Supremum existiert. Nun könnte man ja eine Folge konstruieren die gegen das Supremum konvergiert. Aufgrund der Kompaktheit also Abgeschlossenheit folgt dass der Grenzwert dieser folge somit auch das Supremum in A liegt somit ist es auch das Maximum.
Könnte man das so machen? Falls ja wie konstruiert man so eine Folge?
Danke und schöne Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ist A eine Teilmenge der reellen Zahlen und Kompakt, so
> sind ihr Supremum bzw. Infimum auch Maximum bzw. Minimum.
> Also ich hätte dazu eine idee. Da Kompaktheit in den
> reellen Zahlen bedeutet dass sie abgeschlossen und
> beschränkt sind ist schonmal klar dass aufgrund der
> Ordnungsvollständigkeit der reellen Zahlen ein Supremum
> existiert. Nun könnte man ja eine Folge konstruieren die
> gegen das Supremum konvergiert. Aufgrund der Kompaktheit
> also Abgeschlossenheit folgt dass der Grenzwert dieser
> folge somit auch das Supremum in A liegt somit ist es auch
> das Maximum.
>
> Könnte man das so machen?
Ja
> Falls ja wie konstruiert man so
> eine Folge?
Sei s:=supA.
Ist n [mm] \in \IN, [/mm] so ex. ein [mm] a_n \in [/mm] A mit: [mm] s-1/n
Jetzt Du !
FRED
> Danke und schöne Grüße
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ist n $ [mm] \in \IN, [/mm] $ so ex. ein $ [mm] a_n \in [/mm] $ A mit: s-1/n<a
da s das supremum ist folgt auch s - 1/n < [mm] a_n< [/mm] s
somit konvergiert [mm] a_n [/mm] gegen s?
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Hiho,
> Ist n [mm]\in \IN,[/mm] so ex. ein [mm]a_n \in[/mm] A mit: s-1/n<a
Hier sollte es wohl [mm] a_n [/mm] heißen.
> da s das supremum ist folgt auch s - 1/n < [mm]a_n<[/mm] s
betrachte mal die Menge $[0,1] [mm] \cup \{2\}$ [/mm] und überlege, wo du noch was ändern müsstest.
> somit konvergiert [mm]a_n[/mm] gegen s?
"?" oder "!" ?
Zeige es doch, dann steht da kein "?" mehr am Ende.
Gruß,
Gono.
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