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Forum "Topologie und Geometrie" - Kompakt, Topologie Belegungen
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Kompakt, Topologie Belegungen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:06 So 17.04.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Sei B die Menge der Belegungen(Belegungen sind definiert als Funktionen [mm] \beta: [/mm] Var [mm] \rightarrow \{0,1\}, [/mm] wobei [mm] X_0,X_1, X_2,.. [/mm] die Variaben sind).

Die Mengen \emptyset und B_{\alpha}:= \{\beta \in B| \alpha \subseteq \beta \},
wobei \alpha eine endliche partielle Belegung ist, bilden die Basis einer Topologie auf B.
Ich will überprüfen, dass die definierte Topologie kompakt ist.

Zur Definition der partiellen Belegung:
Sei V [mm] \subseteq [/mm] Var und [mm] \beta [/mm] eine Belegung. Dann ist
[mm] \beta|_V [/mm] := [mm] \{(X, \beta(X))|X \in V \} [/mm]
die Einschränkung von [mm] \beta [/mm] auf V. Das ist eine Funktion von V nach [mm] \{0,1\}. [/mm] Solche Funktionen heißen partielle Belegungen.



\mathcal{O}:= \{ \bigcup_{i \in I} {B_{\alpha}}__i| {B_{\alpha}}__i\in B_{\alpha}, I \mbox{ beliebig} \} Topologie auf B, wobei B_{\alpha} Basis für \mathcal{O} ist und \mathcal{O} eindeutig mit der Eigenschaft. (Nach Satz in Topologie-VO)
ZZ.: (B,\mathcal{O}) ist kompakt.
Sei (O_j)_{j \in J} eine offene Überdeckung von B, d.h. O_j= \bigcup_{i\in I_j} {B_{\alpha}}__i mit {B_{\alpha}}__i\in B_{\alpha}, I_j passend für j \in J
B\subset \bigcup_{j \in J} O_j= \bigcup_{j\in J} \bigcup_{i \in I_j} {B_{\alpha}}__i

Wieso sollen O_j__1 ,.., O_j__n ausreichen um die Menge der Belegungen zu überdecken?

Ich habe die Frage bereits vor Wochen bei http://www.matheplanet.com/ unter "Aussagenlogik, Kompaktheitssatz, Topologie" gestellt, aber außer der Antwort, dass es leicht ist nichts zurückbekommen.


        
Bezug
Kompakt, Topologie Belegungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 So 17.04.2016
Autor: tobit09

Hallo sissile!


> Sei B die Menge der Belegungen(Belegungen sind definiert
> als Funktionen [mm]\beta:[/mm] Var [mm]\rightarrow \{0,1\},[/mm] wobei
> [mm]X_0,X_1, X_2,..[/mm] die Variaben sind).

Ist die Menge Var bei euch abzählbar unendlich, wie deine Notation suggeriert?


> Die Mengen \emptyset und B_{\alpha}:= \{\beta \in B| \alpha \subseteq \beta \},
>  
> wobei \alpha eine endliche partielle Belegung ist, bilden
> die Basis einer Topologie auf B.
> Ich will überprüfen, dass die definierte Topologie
> kompakt ist.

Denke dir die Menge [mm] $\{0,1\}$ [/mm] mit der diskreten Topologie ausgestattet.
Dann ist die Topologie, deren Kompaktheit du zeigen möchtest, nichts anderes als die Produkttopologie auf [mm] $\{0,1\}^{\operatorname{Var}}$. [/mm]
Nach dem Satz von Tychonoff aus der Topologie ist sie kompakt.


Ich glaube nicht, dass sich die Kompaktheit ohne Verwendung dieses Satzes "ganz leicht" beweisen lässt, wie im anderen Forum behauptet wurde. Ich lasse mich aber gerne eines besseren belehren und lasse diese Frage daher als nur teilweise beantwortet markiert.

(Wir brauchen den Satz von Tychonoff nicht in voller Allgemeinheit. Im Falle der Abzählbarkeit von Var lässt sich der benötigte Spezialfall ohne große Theorie (und ohne Auswahlaxiom) per Widerspruchsbeweis zeigen. Dafür benötigt man unter anderem eine rekursive Konstruktion einer Belegung. Als "ganz leicht" würde ich diesen Beweis jedoch nicht bezeichnen.)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Kompakt, Topologie Belegungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 So 17.04.2016
Autor: sissile

Hallo,
danke für deine Antwort!

> Ist die Menge Var bei euch abzählbar unendlich, wie deine Notation suggeriert?

Ja wir haben definiert [mm] V_a:= \{v_i| i \in \mathbb{N}\} [/mm] die Menge der Variablen.

> Dann ist die Topologie, deren Kompaktheit du zeigen möchtest, nichts anderes als die Produkttopologie auf $ [mm] \{0,1\}^{\operatorname{Var}} [/mm] $.

Den Zusammenhang verstehe ich noch nicht.
Produktopologie wird durch die Basis B:= [mm] \{ \produkt_{i \in I} U_i | \exists J \subseteq I, J \mobox{ endlich } : U_i \subseteq P(\{0,1\}) \mbox{ für } i \in J, U_i=\{0,1\} \mbox{ für } i \in I \setminus J\} [/mm] beschrieben.
Mit [mm] P(\{0,1\})=\{\{0\},\{1\},\{\emptyset\},\{0,1\}\} [/mm] meine ich die Potenzmenge der Menge [mm] \{0,1\}. [/mm]
I=|Var|

Wo kommen in der Form die endliche partiellen belegung [mm] \alpha [/mm] vor?

LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Kompakt, Topologie Belegungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 So 17.04.2016
Autor: tobit09


> > Dann ist die Topologie, deren Kompaktheit du zeigen
> möchtest, nichts anderes als die Produkttopologie auf
> [mm]\{0,1\}^{\operatorname{Var}} [/mm].
> Den Zusammenhang verstehe ich noch nicht.
>  Produktopologie wird durch die Basis B:= [mm]\{ \produkt_{i \in I} U_i | \exists J \subseteq I, J \mbox{ endlich } : U_i \red\subseteq P(\{0,1\}) \mbox{ für } i \in J, U_i=\{0,1\} \mbox{ für } i \in I \setminus J\}[/mm]
> beschrieben.

An der von mir rot markierten Stelle muss es [mm] $\in$ [/mm] statt [mm] $\subseteq$ [/mm] heißen.


>  Mit [mm]P(\{0,1\})=\{\{0\},\{1\},\{\emptyset\},\{0,1\}\}[/mm] meine
> ich die Potenzmenge der Menge [mm]\{0,1\}.[/mm]
>  I=|Var|

(I=Var, nicht I=|Var| meinst du.)

Ja. Gut dass du eure Definition der Produkttopologie angibst.


Die Topologie, deren Kompaktheit wir zeigen wollen, bezeichne ich mit [mm] $\mathcal{O}$; [/mm] die von mir eingeführte Produkttopologie mit [mm] $\mathcal{O}'$. [/mm]
Wir wollen [mm] $\mathcal{O}=\mathcal{O'}$ [/mm] zeigen.

Die betrachteten Basen von [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] (aus der Aufgabenstellung) und von [mm] $\mathcal{O}'$ [/mm] (die du gerade angegeben hast) bezeichne ich mit [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] bzw. [mm] $\mathcal{B'}$ [/mm] (du verwendest $B$ anstelle von [mm] $\mathcal{B}'$, [/mm] aber der Buchstabe B ist schon für die Menge [mm] $\{0,1\}^\operatorname{Var}$ [/mm] aller Belegungen vergeben).

Um [mm] $\mathcal{O}=\mathcal{O'}$ [/mm] zu zeigen, zeigen wir beide Inklusionen.
Für [mm] $\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O'}$ [/mm] genügt es, [mm] $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{O'}$ [/mm] zu zeigen.
Für [mm] $\mathcal{O}\supseteq\mathcal{O'}$ [/mm] genügt es, [mm] $\mathcal{O}\supseteq\mathcal{B'}$ [/mm] zu zeigen


> Wo kommen in der Form die endliche partiellen belegung
> [mm]\alpha[/mm] vor?

Ich verwende zunächst mal "passendere" Buchstaben:

      [mm] $\mathcal{B'}=\{ \produkt_{X \in Var} U_X | \exists V \subseteq Var, V \mbox{ endlich } : U_X \subseteq \{0,1\} \mbox{ für } X \in V, U_X=\{0,1\} \mbox{ für } X \in Var \setminus V\}$. [/mm]


Skizze des Nachweises von [mm] $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{O'}$: [/mm]

Sei [mm] $U\in\mathcal{B}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $U\in\mathcal{O'}$. [/mm]

Nach Definition von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] gilt [mm] $U=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $U=B_\alpha$ [/mm] für ein [mm] $V\subseteq [/mm] Var$ endlich und eine partielle Belegung [mm] $\alpha\colon V\to\{0,1\}$. [/mm]
Im erstgenannten Fall ist natürlich [mm] $U=\emptyset\in\mathcal{O'}$. [/mm]
Im Falle [mm] $U=B_\alpha$ [/mm] gilt [mm] $U=\produkt_{X\in Var}U_X\in\mathcal{B'}\subseteq\mathcal{O'}$ [/mm] mit [mm] $U_X:=\{\alpha(X)\}$ [/mm] für [mm] $X\in [/mm] V$ und [mm] $U_X=\{0,1\}$ [/mm] für [mm] $X\in Var\setminus [/mm] V$.


Skizze des Nachweises von [mm] $\mathcal{O}\supseteq\mathcal{B'}$: [/mm]

Sei [mm] $U\in\mathcal{B'}$, [/mm] d.h. es existiert [mm] $V\subseteq [/mm] Var$ endlich und Teilmengen [mm] $U_X\subseteq\{0,1\}$ [/mm] mit [mm] $U=\produkt_{X\in Var}U_X$, [/mm] wobei [mm] $U_X:=\{0,1\}$ [/mm] für [mm] $X\in Var\setminus [/mm] V$.
Zu zeigen ist [mm] $U\in\mathcal{O}$. [/mm]

Dies folgt aus [mm] $U=\bigcup_{\alpha\in\produkt_{X\in V}U_X}B_\alpha$. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Kompakt, Topologie Belegungen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 19.04.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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