Kompakte Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [...] Wir setzen [mm] g(t) = \lfloor t \rfloor - t + \frac{1}{2} [/mm] und [mm] h(x) = \integral_1^x g(t) dt (x \ge 1) [/mm]. Es gilt, dass h beschränkt ist. Offensichtlich sehen wir durch partielle Integration, dass [mm]\integral_1^\infty g(t)t^{-s-1} dt [/mm] für [mm] Re s > -1 [/mm] kompakt konvergiert. [...] |
Hallo,
ich versuche momentan einen Beweis zu verstehen, doch ich verstehe den "offensichtlichen" letzten Teil von dem Abschnitt nicht. Warum ist [mm]\integral_1^\infty g(t)t^{-s-1} dt [/mm] für [mm] Re s > -1 [/mm] kompakt konvergent?
Unter kompakter Konvergenz verbinde ich nur Funktionenfolgen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 So 01.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> [...] Wir setzen [mm]g(t) = \lfloor t \rfloor - t + \frac{1}{2}[/mm]
> und [mm]h(x) = \integral_1^x g(t) dt (x \ge 1) [/mm]. Es gilt, dass
> h beschränkt ist. Offensichtlich sehen wir durch partielle
> Integration, dass [mm]\integral_1^\infty g(t)t^{-s-1} dt[/mm] für
> [mm]Re s > -1[/mm] kompakt konvergiert. [...]
> Hallo,
>
> ich versuche momentan einen Beweis zu verstehen, doch ich
> verstehe den "offensichtlichen" letzten Teil von dem
> Abschnitt nicht. Warum ist [mm]\integral_1^\infty g(t)t^{-s-1} dt[/mm]
> für [mm]Re s > -1[/mm] kompakt konvergent?
> Unter kompakter Konvergenz verbinde ich nur
> Funktionenfolgen...
Wir setzen [mm] a_s:=[/mm] [mm]\integral_1^\infty g(t)t^{-s-1} dt[/mm] für s [mm] \in \IC [/mm] mit Re(s)>-1.
Zu zeigen ist: ist [mm] (s_n) [/mm] eine Folge in [mm] \IC [/mm] mit [mm] Re(s_n)>-1 [/mm] für alle n, so enthält
[mm] (a_{s_n}) [/mm] eine konvergente Teilfolge.
FRED
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Etwa so?:
(G sei Stammfunktion von g)
Partielle Integration liefert:
[mm]\integral_1^x g(t)t^{-s-1}dt = \left[G(t)t^{-s-1} \right]_1^x + (s+1)\integral_1^x G(t)t^{-s-2}dt [/mm]
Da G beschränkt ist (die Schranke sei K), können wir nach oben abschätzen:
[mm] Kx^{-s-1} - K + K(s+1) \integral_1^x t^{-s-2} dt[/mm]
Für [mm]x \to \infty[/mm] haben wir dann rechts stehen:
[mm] - K + (s+1) \integral_1^\infty t^{-s-2} dt[/mm]
Dieses Integral konvergiert für (Re s > -1).
Also ist [mm]\integral_1^\infty g(t)t^{-s-1}dt [/mm] beschränkt.
Folgt dann mit Bolzano Weiterstraß die Aussage?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mo 02.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Etwa so?:
> (G sei Stammfunktion von g)
g besitzt keine Stammfunktion !
FRED
> Partielle Integration liefert:
>
> [mm]\integral_1^x g(t)t^{-s-1}dt = \left[G(t)t^{-s-1} \right]_1^x + (s+1)\integral_1^x G(t)t^{-s-2}dt[/mm]
>
> Da G beschränkt ist (die Schranke sei K), können wir nach
> oben abschätzen:
>
> [mm]Kx^{-s-1} - K + K(s+1) \integral_1^x t^{-s-2} dt[/mm]
>
> Für [mm]x \to \infty[/mm] haben wir dann rechts stehen:
> [mm]- K + (s+1) \integral_1^\infty t^{-s-2} dt[/mm]
> Dieses
> Integral konvergiert für (Re s > -1).
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> Also ist [mm]\integral_1^\infty g(t)t^{-s-1}dt[/mm] beschränkt.
> Folgt dann mit Bolzano Weiterstraß die Aussage?
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Dann bräuchte ich einen Tipp...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 17.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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