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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Es seien (X,d) ein metrischer Raum und A [mm] \subset [/mm] X sowie [mm] A_{i} \subset [/mm] X, i = 1,...,N , kompakte Teilmengen. Zeigen Sie folgende Aussagen:
(i) Ist B [mm] \subset [/mm] X eine abgeschlossene Teilmenge von A, so ist auch B kompakt in X.
(ii) Die Mengen [mm] \bigcap_{i=1}^{N}A_{i} [/mm] und [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} [/mm] sind kompakt. |
Der Beweis von Aufgabenteil (i) ist erledigt, mir fehlt nur (ii).
Ich weiß ja, dass alle [mm] A_{i} [/mm] abgeschlossen sind, so weiß ich auch, dass der Schnitt all dieser abgeschlossen ist. Daraus kann ich doch anhand der Aussage von (i) folgern, dass eben auch dieser Schnitt kompakt ist, weil auch er eine abgeschlossene Teilmenge ist. Ist das richtig?
Die Vereinigung bereitet mir da schon mehr Kopfzerbrechen. Mir fehlt auch einfach ein Ansatz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:16 Do 04.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien (X,d) ein metrischer Raum und A [mm]\subset[/mm] X sowie
> [mm]A_{i} \subset[/mm] X, i = 1,...,N , kompakte Teilmengen. Zeigen
> Sie folgende Aussagen:
>
> (i) Ist B [mm]\subset[/mm] X eine abgeschlossene Teilmenge von A, so
> ist auch B kompakt in X.
>
> (ii) Die Mengen [mm]\bigcap_{i=1}^{N}A_{i}[/mm] und
> [mm]\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}[/mm] sind kompakt.
> Der Beweis von Aufgabenteil (i) ist erledigt, mir fehlt
> nur (ii).
>
> Ich weiß ja, dass alle [mm]A_{i}[/mm] abgeschlossen sind, so weiß
> ich auch, dass der Schnitt all dieser abgeschlossen ist.
> Daraus kann ich doch anhand der Aussage von (i) folgern,
> dass eben auch dieser Schnitt kompakt ist, weil auch er
> eine abgeschlossene Teilmenge ist. Ist das richtig?
Ja.
> Die Vereinigung bereitet mir da schon mehr Kopfzerbrechen.
> Mir fehlt auch einfach ein Ansatz.
Verwende doch einfach die Definition von kompakt. Zeige, dass sie fuer die Vereinigung erfuellt ist, indem du nutzt dass die [mm] $A_i$ [/mm] kompakt sind und es nur endlich viele davon gibt. (Endliche Vereinigungen von endlichen Mengen sind wieder endlich.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Do 04.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
Vielen Dank erstmal!
Okay, wenn ich weiß, dass die Vereinigung endlich ist, kann ich dann schon sagen, dass die Menge abgeschlossen und beschränkt ist? Ich befinde mich ja aber nicht im [mm] \IR^{n}, [/mm] sondern in einem metrischen Raum, deshalb kann ich ja nicht aus abgeschlossen und beschränkt die Kompaktheit folgern.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank erstmal!
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> Okay, wenn ich weiß, dass die Vereinigung endlich ist,
Wieso ist die Vereinigung endlich ?? Von den Mengen [mm] A_i [/mm] weißt Du nur, dass sie kompakt sind.
> kann
> ich dann schon sagen, dass die Menge abgeschlossen und
> beschränkt ist? Ich befinde mich ja aber nicht im [mm]\IR^{n},[/mm]
> sondern in einem metrischen Raum, deshalb kann ich ja nicht
> aus abgeschlossen und beschränkt die Kompaktheit folgern.
So ist es !
Nimm mal eine offene Überdeckung { [mm] G_t [/mm] } von $ [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} [/mm] $ her.
Dann ist { [mm] G_t [/mm] } eine offene Überdeckung von [mm] A_1. A_1 [/mm] ist kompakt, also überdecken schon endlich viele G_ts die Menge [mm] A_1. [/mm] Ebenso für [mm] A_2, [/mm] ....
kommst Du jetzt klar ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Do 04.06.2009 | | Autor: | Doemmi |
Ja, jetzt hats Klick gemacht! So krieg ich das hin!
Ich danke dir!
LG Tommy
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