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| Aufgabe | Für [mm] 0\le{t}\le{1} [/mm] sei [mm] f_\lambda(t)=\cos\lambdat [/mm] und [mm] g_\lambda(t)=t^\lambda. [/mm] Bestimmen Sie, welche der folgenden Teilmengen des Raumes [mm] (C[0,1],\Vert\cdot\Vert_\infty) [/mm] kompakt sind.
[mm] A=\{f_\lambda|\ \lambda\ge 0\}
[/mm]
[mm] B=\{f_\lambda|\ \lambda\in[0,1]\}
[/mm]
[mm] C=\{g_\lambda|\ \lambda\ge{1}\} [/mm] |
Hallo,
es geht mir gerade nur um die Idee.
Ich dachte nämlich, dass ich die Frage nach der Kompaktheit mit dem Satz von Arzela-Ascoli beantworte.
Wenn ich nämlich zeige, dass die Teilmengen beschränkt, abgeschlossen und gleichstetig sind, dann sind diese auch kompakt.
Ist das zumindest schon einmal der richtige Weg?
Andernfalls fällt mir nämlich kein anderer guter/schlauer Weg zum Ziel ein. Gibt es denn noch andere zielführende Methoden?
Vielen Dank für eure Antworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Mo 18.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]0\le{t}\le{1}[/mm] sei [mm]f_\lambda(t)=\cos\lambdat[/mm] und
> [mm]g_\lambda(t)=t^\lambda.[/mm] Bestimmen Sie, welche der folgenden
> Teilmengen des Raumes [mm](C[0,1],\Vert\cdot\Vert_\infty)[/mm]
> kompakt sind.
>
> [mm]A=\{f_\lambda|\ \lambda\ge 0\}[/mm]
> [mm]B=\{f_\lambda|\ \lambda\in[0,1]\}[/mm]
>
> [mm]C=\{g_\lambda|\ \lambda\ge{1}\}[/mm]
> Hallo,
>
> es geht mir gerade nur um die Idee.
> Ich dachte nämlich, dass ich die Frage nach der
> Kompaktheit mit dem Satz von Arzela-Ascoli beantworte.
>
> Wenn ich nämlich zeige, dass die Teilmengen beschränkt,
> abgeschlossen und gleichstetig sind, dann sind diese auch
> kompakt.
>
> Ist das zumindest schon einmal der richtige Weg?
Ja, allerdings benötigst Du nur "punktweise beschränkt".
FRED
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> Andernfalls fällt mir nämlich kein anderer guter/schlauer
> Weg zum Ziel ein. Gibt es denn noch andere zielführende
> Methoden?
>
> Vielen Dank für eure Antworten.
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