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Kompaktheit: Aufgabe
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 01:01 Do 27.01.2005
Autor: Sauerstoff

Hallo MatheRaum

Frage1: Entscheiden Sie, ob die folgenden Mengen kompakt sind oder nicht, und beweisen Sie dies direkt (ohne Verwendung von folgendem Satz):

Satz: Sei $ M [mm] \subset [/mm] X $ kompakt. Dann gilt:
(1) M beschränkt, d.h. $ [mm] \exists [/mm] R>0 ,      M [mm] \subset [/mm] B(0,R) $
(2) M abgeschlossen
(3) Eine Teilmenge $ M [mm] \subset K^m [/mm] $ ist kompakt $ [mm] \gdw [/mm] $ M beschränkt und abgeschlossen

Frage1 a) Die Menge der natürlichen Zahlen $ [mm] \IN \subset \IR. [/mm] $
b) Die Menge $ M= (0,1) [mm] \subset \IR. [/mm] $
c) Die Menge $ K:= [mm] \{a\} \cup \{x_k: k\in \IN\} \subset [/mm] X $ mit  $ [mm] \{x_k\} [/mm] $ eine konvergente Folge im normierten Raum  X mit Grenzwert a.

Könnte mir jemand helfen?

Besten Dank im Voraus
Sauerstoff

        
Bezug
Kompaktheit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:09 Do 27.01.2005
Autor: SEcki


> Frage1: Entscheiden Sie, ob die folgenden Mengen kompakt
> sind oder nicht, und beweisen Sie dies direkt (ohne
> Verwendung von folgendem Satz):

Und wie habt ihr kompakt dann definiert? Heine-Botrelsche-Überdeckungseigenschaft?


> Frage1 a) Die Menge der natürlichen Zahlen [mm]\IN \subset \IR.[/mm]

Finde mal eine Überdeckung, aus der man keine endliche auswählen kann - das ist sehr einfach ...

> b) Die Menge [mm]M= (0,1) \subset \IR.[/mm]

Hier mal von inne mit geigeneten Intervallen ausschöüfen - zB mit Hilfe der Nullfolge 1/n .

>  c) Die Menge [mm]K:= \{a\} \cup \{x_k: k\in \IN\} \subset X[/mm]
> mit  [mm]\{x_k\}[/mm] eine konvergente Folge im normierten Raum  X
> mit Grenzwert a.

Überdecke das mal - was folgt aus der Überdeckung von A?

SEcki

Bezug
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